TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 304

Man zeige, dass eine Menge $O\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ bzgl. der Euklidischen Metrik $d_{2}$ offen ist genau dann, wenn $O$ offen ist bzgl. der Summen-Metrik $d_{1}$.

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Hilfreiches

Offene Menge

Offene Menge

Eine Menge $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt offen, wenn aus $x\in D$ folgt, dass es eine Umgebung $U_{e}(x)$ gibt mit $U_{e}(x)\subseteq D$.

Euklidische Distanzen

$d_{1}((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|$

$d_{2}((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}$

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

Zuerst einmal schreiben wir die Angabe nochmal als Formel auf:

$x\in O\implies \exists U_{e}(x)\subseteq O\iff x\in O\implies \exists U_{d}(x)\subseteq O$ wobei $U_{e}$ von d2 abhängt und $U_{d}$ von d1.

Die Aussage $\exists U_{e}(x)$ kann man auch als $\exists y\in O,e>0:d_{2}(x,y)<e$ anschreiben. (Also es existiert ein y in einer epsilon Umgebung). Wenn wir nun zeigen, dass $\exists y\in O,e>0:d_{2}(x,y)<e$ und $\exists y\in O,d>0:d_{1}(x,y)<d$ äquivalent sind, so sind auch die ursprünglichen Formeln äquivalent. Dazu formen wir beide Ausdrücke so um, dass sie ähnlich ausschauen:

${\begin{aligned}&d_{2}(x,y)<e\\\iff &{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}<e\\\iff &(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}<e^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&d_{1}(x,y)<d\\\iff &|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|<d\\\iff &(x_{1}-y_{1})^{2}+2\cdot |x_{1}-y_{1}|\cdot |x_{2}-y_{2}|+(x_{2}-y_{2})^{2}<d^{2}\\\iff &(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}<d^{2}-2\cdot |x_{1}-y_{1}|\cdot |x_{2}-y_{2}|\end{aligned}}$

Hier sieht man, dass die beiden Aussagen auf der linken Seite ident sind, aber auf der rechten etwas unterschiedlich. Wenn wir nun $e^{2}=d^{2}-2\cdot |x_{1}-y_{1}|\cdot |x_{2}-y_{2}|$ wählen sind sie ident.

--DerPizzabäcker 09:01, 12. Jun. 2019 (CEST)