TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 316

Man untersuche für beliebige $α, β \in ℝ$ den Grenzwert $lim_{t \to 0} f (α t, β t)$ . Ist die Funktion $f (x, y)$ an $(0, 0)$ stetig?
$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{| x | + y^{2}} fuer (x, y) \neq (0, 0) und f (0, 0) = 0$

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Lösungsvorschlag von Drunken Monkey (SS06)

$lim_{t \to 0} f (α t, β t) = lim_{t \to 0} \frac{2 α^{2} t^{2}}{| α t | + β^{2} t^{2}} = \pm lim_{t \to 0} \frac{2 α^{2} t^{2}}{α t + β^{2} t^{2}} = \pm lim_{t \to 0} \frac{2 α^{2}}{\frac{α}{t} + β} = \pm \frac{2 α^{2}}{\infty + β} = 0$

Daher ist f stetig.

Edit von leiwand:

Prinzipiell bin ich Deiner Meinung, aber statt $α$ muss oben $β$ vorkommen. Tut der Lösung aber nicht weh.

Edit von lumpi:

Leider falsch da nicht stetig wegen Fall Alpha = 0 Beta != 0, bei dem als Grenzwert 2 rauskommt. Siehe untere Lösung.

Lösung in Übung

Man muss drei Fälle unterscheiden:

$α = β = 0 f (α t, β t) = f (0, 0) = 0 (p e r D e f i n i t i o n) \Rightarrow lim_{t \to 0} = 0$
$α = 0, β \neq 0 f (α t, β t) = \frac{2 (β t)^{2}}{0 + (β t)^{2}} = 2 \Rightarrow lim_{t \to 0} = 2$
$α \neq 0, β b e l i e b i g f (α t, β t) = \frac{2 (β t)^{2}}{| α t | + (β t)^{2}} = \frac{2 β^{2} t}{| a | + β^{2} t} \Rightarrow lim_{t \to 0} = 0$

Anmerkung: letzte Umformung kann nicht stimmen weil $(β * t)^{2}! = β^{2} * t$

--kopa 17:19, 31. Okt 2007 (CET)

Letzte Umformung stimmt, da t zuerst im Nenner herausgehoben wird und anschließend gekürzt!

--*litschiiii* 12:21, 12. Apr 2011

Ergänzung lt. EIGENTHALER:

1.) ist lt. Eigenthaler eh nicht erlaubt, da x,y != 0 sein müssen (lt. angabe)

außerdem ist es wegen Grenzwert = 2 != f(x,y)=0 natürlich NICHT stetig. (Stetig heißt Grenzwert und Funktionswert an der Stelle gleich)

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