TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 323

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Durch z = \frac{xy}{x+y} ist eine Fläche in \mathbb{R}^3 gegeben. Die Beschränkung von x und y auf die Werte x = e^{t} und y = e^{-t} (t \in \mathbb R) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme \frac{dz}{dt} mit der Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst x und y in z einsetzt und anschließend nach dem Parameter t differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche horizontal?

Hilfreiches[Bearbeiten]

Quotientenregel[Bearbeiten, WP, 5.05 Satz]

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} Kettenregel F(x) = f(u(x),v(x)) \rightarrow F'(x) = f_u u' + f_v v'

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

z(x,y) = \frac{xy}{x+y}

x(t) = e^t => x'(t) = e^t

y(t) = e^{-t} => y'(t) = -e^{-t}

z_x(x,y) = 
\frac{y \cdot \left(x+y\right) - xy  \cdot 1}{\left(x+y\right)^2} =
\frac{xy + y^2 - xy}{\left(x+y\right)^2} = \frac{y^2}{\left(x+y\right)^2}

z_y(x,y) = 
\frac{x \cdot \left(x+y\right) - xy  \cdot 1}{\left(x+y\right)^2} =
\frac{x^2 + xy - xy}{\left(x+y\right)^2} = \frac{x^2}{\left(x+y\right)^2}

\frac{dz}{dt} = 
z_x(x,y) \cdot x'(t) + z_y(x,y) \cdot y'(t) =
\frac{y^2}{\left(x+y\right)^2} \cdot e^t + \frac{x^2}{\left(x+y\right)^2} \cdot \left( -e^{-t} \right) =
\frac{y^2 \cdot e^t - x^2 \cdot e^{-t}}{\left(x+y\right)^2}

Einsetzen von x=e^t und y=e^{-t}:

\frac{dz}{dt} = 
\frac{\left( e^{-t} \right)^2 \cdot e^t - \left( e^t \right)^2 \cdot e^{-t}}{\left( e^t + e^{-t} \right)^2 } =
\frac{e^{t-2t} - e^{2t-t}}{\left( e^t + e^{-t} \right)^2 } =
\frac{e^{-t} - e^t}{\left( e^t + e^{-t} \right)^2 }

Probe[Bearbeiten]

x=e^t und y=e^{-t} in z einsetzen und dann nach t differenzieren:

z(t) = \frac{e^t \cdot e^{-t}}{e^t + e^{-t}} = \frac{1}{e^t + e^{-t}}

z'(t) = 
\frac{0 \cdot \left( e^t + e^{-t} \right) - 1 \cdot \left( e^t - e^{-t} \right)}{\left( e^t + e^{-t} \right)^2} =
\frac{e^{-t} - e^t}{\left( e^t + e^{-t} \right)^2 }

Wo verläuft die Kurve horizontal[Bearbeiten]

--Jules 16:18, 12. Apr. 2011 (CEST)

Die Kurve verläuft horizontal, wenn \frac{dz}{dt} = 0 gilt.

\begin{align}
\frac{e^{-t} - e^t}{\left( e^t + e^{-t} \right)^2 } &= 0 \\
e^{-t} - e^t &= 0 \\
e^{-t} &= e^t \\
\frac{1}{e^t} &= e^t \\
1 &= e^{2t} \\
t &= 0
\end{align}

Daraus ergeben sich folgende Koordinaten:

x(0) = e^0 = 1

y(0) = e^{-0} = 1

z(0) = \frac{e^{-0} \cdot e^{0}}{e^0 + e^{-0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 28

Links[Bearbeiten]