TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 324

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Es sei g_u(u,v) = \frac\part{\part u}g(u,v) = \frac{1+\tan(u)^2}{v+\tan(u)} und g_v(u,v) = \frac \part {\part v}g(u,v) = (v + \tan(u))^{-1}.

Man bestimme mit Hilfe der Kettenregel h(t) = \frac d {dt}g(2t,t^2 + 1).

Lösungsvorschlag von Lukor[Bearbeiten]

Kettenregel: \frac{dF}{dx} = \sum^n_{i=1}\frac{\part f}{\part g_i} \cdot \frac{dg_i}{dx} mit F = h,\ x = t,\ g_1 = u,\ g_2 = v,\ u = 2t und v = t^2+1 ergibt \frac{dg}{dt} = \frac{\part g}{\part u} \cdot \frac{du}{dt} + \frac{\part g}{\part v} \cdot \frac{dv}{dt}.

\frac{\part g}{\part u} und \frac{\part g}{\part v} sind gegeben, also fehlen nur noch die Ableitungen \frac{du}{dt} = 2 und \frac{dv}{dt} = 2t.

Eingesetzt ergibt das 
h(t) = \frac{1+\tan(u)^2}{v+\tan(u)} \cdot 2 + (v + \tan(u))^{-1} * 2t =
2\left( \frac{1+\tan^2(2t)+2t}{1+\tan(2t)+t^2} \right)
.