TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 341

Es sei $g_{u}(u,v)={\frac {\partial }{\partial u}}g(u,v)={\frac {1+\tan(u)^{2}}{v+\tan(u)}}$ und $g_{v}(u,v)={\frac {\partial }{\partial v}}g(u,v)=(v+\tan(u))^{-1}$.

Man bestimme mit Hilfe der Kettenregel $h(t)={\frac {d}{dt}}g(2t,t^{2}+1)$.

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Lösungsvorschlag von Lukor

Kettenregel: ${\frac {dF}{dx}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial g_{i}}}\cdot {\frac {dg_{i}}{dx}}$ mit $F=h,\ x=t,\ g_{1}=u,\ g_{2}=v,\ u=2t$ und $v=t^{2}+1$ ergibt ${\frac {dg}{dt}}={\frac {\partial g}{\partial u}}\cdot {\frac {du}{dt}}+{\frac {\partial g}{\partial v}}\cdot {\frac {dv}{dt}}$.

${\frac {\partial g}{\partial u}}$ und ${\frac {\partial g}{\partial v}}$ sind gegeben, also fehlen nur noch die Ableitungen ${\frac {du}{dt}}=2$ und ${\frac {dv}{dt}}=2t$.

Eingesetzt ergibt das $h(t)={\frac {1+\tan(u)^{2}}{v+\tan(u)}}\cdot 2+(v+\tan(u))^{-1}*2t=2\left({\frac {1+\tan ^{2}(2t)+t}{1+\tan(2t)+t^{2}}}\right)$.