TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 341

Es sei $g_u(u,v)=\frac{\partial }{\partial u}g(u,v)=\frac{1+\tan (u{)}^2}{v+\tan (u)}$ und $g_v(u,v)=\frac{\partial }{\partial v}g(u,v)=(v+\tan (u){)}^{-1}$.

Man bestimme mit Hilfe der Kettenregel $h(t)=\frac{d}{dt}g(2t,t^2+1)$.

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Lösungsvorschlag von Lukor

Kettenregel: $\frac{dF}{dx}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial g_i}\cdot \frac{d{g}_i}{dx}$ mit $F=h,x=t,g_1=u,g_2=v,u=2t$ und $v=t^2+1$ ergibt $\frac{dg}{dt}=\frac{\partial g}{\partial u}\cdot \frac{du}{dt}+\frac{\partial g}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dt}$.

$\frac{\partial g}{\partial u}$ und $\frac{\partial g}{\partial v}$ sind gegeben, also fehlen nur noch die Ableitungen $\frac{du}{dt}=2$ und $\frac{dv}{dt}=2t$.

Eingesetzt ergibt das $h(t)=\frac{1+\tan (u{)}^2}{v+\tan (u)}\cdot 2+(v+\tan (u){)}^{-1}\ast 2t=2\left(\frac{1+{\tan }^2(2t)+t}{1+\tan (2t)+t^2}\right)$.