TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 381

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Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y-xy'+1=0 \,

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten]

Zuerst auf die Form y' + a(x)y=s(x) \, bringen:

-y'+\frac{y}{x}=-\frac{1}{x} \,

Lösung der homogenen Gleichung[Bearbeiten]

-y'+\frac{y}{x}=0

y'= y\frac{1}{x}

y'= y\frac{1}{x}

\frac{dy}{dx}= y\frac{1}{x}

\frac{dy}{y}= \frac{dx}{x}

\int \frac{dy}{y}= \int \frac{dx}{x}

\ln|y| = \ln|x|

y_h(x) = Cx

Lösung der inhomogenen Gleichung[Bearbeiten]

y_p(x) = C(x)x \,

Einsetzen:

-C'(x)x-C(x)+\frac{C(x)x}x = -\frac{1}{x}  \,

C'(x)x =\frac{1}{x}  \,

C'(x) =\frac{1}{x^2}  \,

C(x) =\int\frac{1}{x^2}dx  \,

C(x)=-\frac{1}{x}  \,

y_p(x) = C(x)x =-\frac{1}{x}x=-1  \,

Lösung der Differentialgleichung[Bearbeiten]

y = y_h(x) + y_p(x) = Cx-1 \,