TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 400

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

$y'+{\frac {1}{1-x}}y=x^{2},\qquad y(0)=1$

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Lösungsvorschlag von Daydreams

Lösung der homogenen Gleichung

$y'+{\frac {1}{1-x}}y=0\,$

$y'=-{\frac {1}{1-x}}y\,$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1-x}}y\,$

${\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x-1}}\,$

$\int {\frac {dy}{y}}=\int {\frac {dx}{x-1}}\,$

Nebenrechnung:

$\int {\frac {dx}{x-1}}{dx}\,$

${t}=x-1$

$\int {\frac {1}{t}}{dt}=ln|t|+C=ln|x-1|+C\,$

$ln|y|=ln|x-1|$

${y}=e^{C}*({x-1})$

$y_{h}(x)=C*({x-1})$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)=C(x)*({x-1})\,$

$y'_{p}(x)=C'(x)*({x-1})+C(x)\,$

Einsetzen:

$C'(x)*({x-1})+C(x)+{\frac {1}{1-x}}*C(x)*({x-1})={x^{2}}\,$

$C'(x)*({x-1})+C(x)+{\frac {C(x)*(1-x)+C(x)*x-C(x)}{1-x}}={x^{2}}\,$

$C'(x)*({x-1})+C(x)+{\frac {C(x)-C(x)*x+C(x)*x-C(x)}{1-x}}={x^{2}}\,$

$C'(x)*({x-1})={x^{2}}\,$

$C'(x)={\frac {x^{2}}{x-1}}\,$

$C(x)=\int {\frac {x^{2}}{x-1}}{dx}\,$

Nebenrechnung:

$\int {\frac {x^{2}}{x-1}}{dx}\,$

Polynomdivision:

${x^{2}}/({x-1})=x+1+{\frac {1}{x-1}}$

$\int x+1+{\frac {1}{x-1}}{dx}\,$

$\int x{dx}+\int 1{dx}+\int {\frac {1}{x-1}}{dx}={\frac {x^{2}}{2}}+{x}+ln|{x-1}|+C\,$

$C(x)={\frac {x^{2}}{2}}+{x}+ln|{x-1}|\,$

In y_p(x) einsetzen:

$y_{p}(x)=({\frac {x^{2}}{2}}+{x}+ln|{x-1}|)*({x-1})\,$

$y_{p}(x)={\frac {x^{3}}{2}}+{x^{2}}+x*ln|{x-1}|-{\frac {x^{2}}{2}}-{x}-ln|{x-1}|\,$

$y_{p}(x)={\frac {x*(x^{2}+2x+2ln|{x-1}|)-{x^{2}}-{2x}-2ln|{x-1}|}{2}}\,$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C*({x-1})+{\frac {x*(x^{2}+2x+2ln|{x-1}|)-{x^{2}}-{2x}-2ln|{x-1}|}{2}}$

Einsetzen von $y(0)=1:$

$1=C*({0-1})+{\frac {0*(0^{2}+2*0+2ln|{0-1}|)-{0^{2}}-{2*0}-2ln|{0-1}|}{2}}$

$1=-C+{\frac {0}{2}}=-C$

Dann erhält man:

$C=-1\,$

Die spezifische Lösung lautet also:

$y=({-x+1})+{\frac {x*(x^{2}+2x+2ln|{x-1}|)-{x^{2}}-{2x}-2ln|{x-1}|}{2}}$

Websites

Informatikforum

• f.thread:45202
• f.thread:44661
• f.thread:73568 SS09

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 135 / SS07 Beispiel 197