TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 406

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y^{″}-12y^{\prime }+36y=0$

(b) $y^{″}+12y^{\prime }+60y=0$

(c) $y^{″}-12y^{\prime }+25y=0$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Beispiel (a)

$y^{″}-12y^{\prime }+36y=0$

Charakteristische Gleichung ${\lambda }^2-12\lambda +36=0$ lösen:

${\lambda }_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{144-4\ast 36}}{2}=6$

${\lambda }_1={\lambda }_2=>y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{6x}$

Beispiel (b)

$y^{″}+12y^{\prime }+60y=0$

Charakteristische Gleichung ${\lambda }^2+12\lambda +60=0$ lösen:

${\lambda }_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{144-4\ast 60}}{2}=-6\pm \frac{\sqrt{96}}{2}i$

${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta =>y(x)=e^{-6x}(C_1\cos (\frac{\sqrt{96}}{2}x)+C_2\sin (\frac{\sqrt{96}}{2}x))$

Beispiel (c)

$y^{″}-12y^{\prime }+25y=0$

Charakteristische Gleichung ${\lambda }^2-12\lambda +25=0$ lösen:

${\lambda }_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{144-4\ast 25}}{2}=6\pm \sqrt{11}$

${\lambda }_1\ne {\lambda }_2=>y(x)=C_1{e}^{(6+\sqrt{11})x}+C_2{e}^{(6-\sqrt{11})x}$