TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 388

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Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) y''-12y'+36y=0 \,

(b) y''+12y'+60y=0 \,

(c) y''-12y'+25y=0 \,

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten]

Beispiel (a)[Bearbeiten]

y''-12y'+36y=0 \,

Charakteristische Gleichung \lambda^2-12\lambda+36=0 \, lösen:

\lambda_{1,2}=\frac{12 \pm \sqrt{144-4*36}}2 = 6 \,

\lambda_1=\lambda_2 => y(x)=(C_1+C_2x)e^{6x} \,

Beispiel (b)[Bearbeiten]

y''+12y'+60y=0

Charakteristische Gleichung \lambda^2+12\lambda+60=0 lösen:

\lambda_{1,2}=\frac{-12 \pm \sqrt{144-4*60}}2 = -6\pm \frac{\sqrt{96}}2i

\lambda_{1,2}=\alpha \pm i \beta => y(x)=e^{-6x}(C_1\cos(\frac{\sqrt{96}}2x)+C_2\sin(\frac{\sqrt{96}}2x))

Beispiel (c)[Bearbeiten]

y''-12y'+25y=0 \,

Charakteristische Gleichung \lambda^2-12\lambda+25=0 \, lösen:

\lambda_{1,2}=\frac{12 \pm \sqrt{144-4*25}}2 = 6\pm \sqrt{11} \,

\lambda_1 \neq \lambda_2 => y(x)=C_1 e^{(6+\sqrt{11})x} +C_2 e^{(6-\sqrt{11})x} \,