TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 406

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y''-12y'+36y=0\,$

(b) $y''+12y'+60y=0\,$

(c) $y''-12y'+25y=0\,$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Beispiel (a)

$y''-12y'+36y=0\,$

Charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}-12\lambda +36=0\,$ lösen:

$\lambda _{1,2}={\frac {12\pm {\sqrt {144-4*36}}}{2}}=6\,$

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=>y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{6x}\,$

Beispiel (b)

$y''+12y'+60y=0$

Charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}+12\lambda +60=0$ lösen:

$\lambda _{1,2}={\frac {-12\pm {\sqrt {144-4*60}}}{2}}=-6\pm {\frac {\sqrt {96}}{2}}i$

$\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta =>y(x)=e^{-6x}(C_{1}\cos({\frac {\sqrt {96}}{2}}x)+C_{2}\sin({\frac {\sqrt {96}}{2}}x))$

Beispiel (c)

$y''-12y'+25y=0\,$

Charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}-12\lambda +25=0\,$ lösen:

$\lambda _{1,2}={\frac {12\pm {\sqrt {144-4*25}}}{2}}=6\pm {\sqrt {11}}\,$

$\lambda _{1}\neq \lambda _{2}=>y(x)=C_{1}e^{(6+{\sqrt {11}})x}+C_{2}e^{(6-{\sqrt {11}})x}\,$