TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 394

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Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

y' + 2(cot(x))y + sin(2x) = 0 \,

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten]

Zuerst auf die Form y' + a(x)y=s(x) \, bringen:

y' + 2(cot(x))y =- sin(2x)\,

Nebenrechnung: (Substitution: t=sin(x) => dt=cos(x)dx => dx = \frac{dt}{cos(x)} \,)

\int cot(x) dx = \int \frac{cos(x)}{sin(x)}dx= \int \frac{cos(x) dt}{t cos(x)} = \int \frac{1}{t}dt=ln|t|= ln|sin(x)| \,

Lösung der homogenen Gleichung[Bearbeiten]

y' + 2(cot(x))y =0\,

  \frac{dy}{dx}=-2(cot(x))y \,

  \frac{dy}{y}=-2(cot(x))dx \,

  \int\frac{dy}{y}=-2\int cot(x)dx \,

  ln|y|=-ln|sin(x)| \,

 y_h(x)=\frac{C}{sin^2(x)} \,

Lösung der inhomogenen Gleichung[Bearbeiten]

 y_p(x)=\frac{C(x)}{sin^2(x)} \,

Einsetzen: (Hinweis:\frac{cos(x)}{sin(x)}=cot(x) \,)

\frac{C'(x)}{sin^2(x)} - \frac{2C(x)}{sin^3(x)} + \frac{2C(x)}{sin^3(x)} = -sin(2x)\,

\frac{C'(x)}{sin^2(x)} = -sin(2x)\,

C'(x) = -sin(2x) sin^2(x)\,

C'(x) = -2sin(x)cos(x) sin^2(x)\,

C'(x) = -2cos(x) sin^3(x)\,

C(x) = -2\int cos(x) sin^3(x) dx\,

Substitution:

t=sin(x)=>dt=cos(x) dx =>dx=\frac{dt}{cos(x)} dx\,

C(x) = -2\int \frac{cos(x) t^3}{cos(x)} dt=-2\frac{t^4}4 = -\frac{sin^4(x)}2 \,

Lösung der Differentialgleichung[Bearbeiten]

y = y_h(x) + y_p(x) = \frac{C}{sin^2(x)}  -\frac{sin^4(x)}2 \,

[Anmerkung von Krakki]: MMn muss die Lösung von C(x) in die partikuläre Lösung eingesetzt werden, bevor sie zur Gesamtlösung addiert wird, oder? Damit kürzt sich im 2. Summanden das sin²(x) weg.