TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 407

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Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

y'=-\frac{1}{x}y+\frac{ln(x)}{x} \,

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten]

Zuerst auf die Form y' + a(x)y=s(x) \, bringen:

y'+\frac{1}{x}y=\frac{ln(x)}{x} \,

Lösung der homogenen Gleichung[Bearbeiten]

y'+\frac{1}{x}y=0 \,

y'=-\frac{1}{x}y \,

\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x}y \,

\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} \,

\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x} \,

ln|y|=-ln|x| \,

y_h(x)=\frac{C}{x} \,

Lösung der inhomogenen Gleichung[Bearbeiten]

y_p(x) = \frac{C(x)}x \,

Einsetzen:

 \frac{C'(x)}x - \frac{C(x)}{x^2} + \frac{C(x)}{x^2} = \frac{ln(x)}{x} \,

C'(x)=ln(x) \,

Partiell integrieren:

C(x)=\int ln(x) dx = \int 1 ln(x) dx = x ln(x) - \int x \frac{1}{x} dx = x ln(x)-x=x(ln(x)-1)\,

y_p(x) = \frac{C(x)}x = \frac{x(ln(x)-1))}x = ln(x)-1 \,

Lösung der Differentialgleichung[Bearbeiten]

y = y_h(x) + y_p(x) = \frac{C}x + ln(x)-1 \,