TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 428

Man vergleiche die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b_1}$, $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b_2}$ mit

$A=\left(\begin{array}{cc}3,9& -10,7\\ -9,3& 25,5\end{array}\right),\overrightarrow{b_1}=\left(\begin{array}{c}-290\\ 690\end{array}\right),\overrightarrow{b_2}=\left(\begin{array}{c}-291\\ 689\end{array}\right)$

Was kann daraus geschlossen werden?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Lösung mit $b_1$

$\begin{array}{ccccc}3.9x_1& -& 10.7x_2& =& -290\\ -9.3x_1& +& 25.5x_2& =& 690\end{array}$

Tausche Zeilen 1/2 und Spalten 1/2.

$\begin{array}{ccccc}25.5x_2& -& 9.3x_1& =& 690\\ -10.7x_2& +& 3.9x_1& =& -290\end{array}$

Zweite Zeile $-\frac{-10.7}{25.5}$ der ersten Zeile.

$\begin{array}{ccccc}25.5x_2& -& 9.3x_1& =& 690\\ & -& 0.0023529412x_1& =& -0.47058824\end{array}$

$x_1=200$, $x_2=100$

Lösung mit $b_2$

$\begin{array}{ccccc}3.9x_1& -& 10.7x_2& =& -291\\ -9.3x_1& +& 25.5x_2& =& 689\end{array}$

Tausche Zeilen 1/2 und Spalten 1/2.

$\begin{array}{ccccc}25.5x_2& -& 9.3x_1& =& 689\\ -10.7x_2& +& 3.9x_1& =& -291\end{array}$

Zweite Zeile $-\frac{-10.7}{25.5}$ der ersten Zeile.

$\begin{array}{ccccc}25.5x_2& -& 9.3x_1& =& 689\\ & -& 0.0023529412x_1& =& -1.8901961\end{array}$

$x_1=803.33333$, $x_2=320.00000$

Schlussfolgerung

Die großen Unterschiede der beiden Ergebnisse lassen auf eine schlechte Konditionierung der Gleichung schließen.

Lösung aus Karigl 2004

• Lösung aus 2004

Quelle

• Karigl Beispielsammlung WS04 Beispiel 53
• Buch 9.8