TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 410

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Man vergleiche die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme A\vec{x} = \vec{b_1}, A\vec{x} = \vec{b_2} mit

A = \begin{pmatrix}3,9 & -10,7 \\ -9,3 & 25,5 \end{pmatrix}, \vec{b_1} = \begin{pmatrix}-290 \\ 690 \end{pmatrix}, \vec{b_2} = \begin{pmatrix}-291 \\ 689 \end{pmatrix}

Was kann daraus geschlossen werden?

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Lösung mit b_1[Bearbeiten]

\begin{matrix}
 3.9x_1 & - & 10.7x_2 & = & -290 \\
-9.3x_1 & + & 25.5x_2 & = &  690
\end{matrix}

Tausche Zeilen 1/2 und Spalten 1/2.

\begin{matrix}
 25.5x_2 & - & 9.3x_1 & = &  690 \\
-10.7x_2 & + & 3.9x_1 & = & -290
\end{matrix}

Zweite Zeile -\frac{-10.7}{25.5} der ersten Zeile.

\begin{matrix}
 25.5x_2 & - &          9.3x_1 & = &  690 \\
         & - & 0.0023529412x_1 & = & -0.47058824
\end{matrix}

x_1 = 200, x_2 = 100

Lösung mit b_2[Bearbeiten]

\begin{matrix}
 3.9x_1 & - & 10.7x_2 & = & -291 \\
-9.3x_1 & + & 25.5x_2 & = &  689
\end{matrix}

Tausche Zeilen 1/2 und Spalten 1/2.

\begin{matrix}
 25.5x_2 & - & 9.3x_1 & = &  689 \\
-10.7x_2 & + & 3.9x_1 & = & -291
\end{matrix}

Zweite Zeile -\frac{-10.7}{25.5} der ersten Zeile.

\begin{matrix}
 25.5x_2 & - &          9.3x_1 & = &  689 \\
         & - & 0.0023529412x_1 & = & -1.8901961
\end{matrix}

x_1 = 803.33333, x_2 = 320.00000

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Die großen Unterschiede der beiden Ergebnisse lassen auf eine schlechte Konditionierung der Gleichung schließen.

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

  • Karigl Beispielsammlung WS04 Beispiel 53
  • Buch 9.8