TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 428

Man vergleiche die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme $A{\vec {x}}={\vec {b_{1}}}$, $A{\vec {x}}={\vec {b_{2}}}$ mit

$A={\begin{pmatrix}3,9&-10,7\\-9,3&25,5\end{pmatrix}},{\vec {b_{1}}}={\begin{pmatrix}-290\\690\end{pmatrix}},{\vec {b_{2}}}={\begin{pmatrix}-291\\689\end{pmatrix}}$

Was kann daraus geschlossen werden?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Lösung mit $b_{1}$

${\begin{matrix}3.9x_{1}&-&10.7x_{2}&=&-290\\-9.3x_{1}&+&25.5x_{2}&=&690\end{matrix}}$

Tausche Zeilen 1/2 und Spalten 1/2.

${\begin{matrix}25.5x_{2}&-&9.3x_{1}&=&690\\-10.7x_{2}&+&3.9x_{1}&=&-290\end{matrix}}$

Zweite Zeile $-{\frac {-10.7}{25.5}}$ der ersten Zeile.

${\begin{matrix}25.5x_{2}&-&9.3x_{1}&=&690\\&-&0.0023529412x_{1}&=&-0.47058824\end{matrix}}$

$x_{1}=200$, $x_{2}=100$

Lösung mit $b_{2}$

${\begin{matrix}3.9x_{1}&-&10.7x_{2}&=&-291\\-9.3x_{1}&+&25.5x_{2}&=&689\end{matrix}}$

Tausche Zeilen 1/2 und Spalten 1/2.

${\begin{matrix}25.5x_{2}&-&9.3x_{1}&=&689\\-10.7x_{2}&+&3.9x_{1}&=&-291\end{matrix}}$

Zweite Zeile $-{\frac {-10.7}{25.5}}$ der ersten Zeile.

${\begin{matrix}25.5x_{2}&-&9.3x_{1}&=&689\\&-&0.0023529412x_{1}&=&-1.8901961\end{matrix}}$

$x_{1}=803.33333$, $x_{2}=320.00000$

Schlussfolgerung

Die großen Unterschiede der beiden Ergebnisse lassen auf eine schlechte Konditionierung der Gleichung schließen.

Lösung aus Karigl 2004

• Lösung aus 2004

Quelle

• Karigl Beispielsammlung WS04 Beispiel 53
• Buch 9.8