TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 43

Man untersuche die Folge $(a_{n}) n \in ℕ$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n \in ℕ$ definiert).
$a_{n} = n \cdot q^{n} (- 1 < q < 0)$ .

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Hilfreiches

Satz 4.35:

Falls die Reihe $\sum_{n \geq 0} a_{n}$ konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d.h., $a_{n} \to 0$ .

Satz 4.50 (Wurzelkriterium):

Falls es eine Zahl $q$ gibt, so dass

$\sqrt[n]{| a_{n} |} \leq q < 1$ für fast alle $n$ ,

dann ist $\sum_{n} a_{n}$ absolut konvergent. Falls hingegen

$\sqrt[n]{| a_{n} |} \geq 1$ für unendlich viele $n$ ,

so ist $\sum_{n} a_{n}$ divergent.

Satz 4.51 (Limesform des Wurzelkriteriums):

Aus $\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |} < 1$ folgt die absolute Konvergenz der Reihe $\sum_{n} a_{n}$ und aus $\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |} > 1$ deren Divergenz.

Lösungsvorschlag von Yousif

Die Folge ist für alle $n \in ℕ$ wohldefiniert.

Idee: Die Folge als Reihe interpretieren, untersuchen, ob diese konvergiert und daraus schließen, dass diese gegen $0$ konvergiert.

Wurzelkriterium:

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| n q^{n} |} < 1$

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n \cdot | q^{n} |} < 1$

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{| q^{n} |} < 1$

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{| q |^{n}} < 1$

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot lim_{n \to \infty} | q | = 1 \cdot | q |^{\color} < 1$

$| q | < 1 ⟹ | q |^{n} < 1$

Also ist die Reihe absolut konvergent.

Daraus folgt, dass die Folge, bestehend aus den Folgengliedern der Reihe $\sum_{n \geq 0} n \cdot q^{n}$ für $- 1 < q < 0$ , eine Nullfolge ist, also $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ . Der Grenzwert ist also $0$ .

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 43.

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $ℚ$ !) gilt:
- $a_{n} ↗ : lim_{n \to \infty} a_{n} = sup (a_{n})_{n \in ℕ}$
- $a_{n} ↘ : lim_{n \to \infty} a_{n} = inf (a_{n})_{n \in ℕ}$
$lim x_{n} = x, lim y_{n} = y ⟹ {\begin{matrix} lim (x_{n} \pm y_{n}) = x \pm y \\ lim (x_{n} \cdot y_{n}) = x \cdot y \\ lim (\frac{x_{n}}{y_{n}}) = \frac{x}{y} y_{n}, y \neq 0 \end{matrix}$

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n \geq 0}$ , falls in jeder $ϵ$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall ϵ > 0 \exists N (ϵ) \in ℕ \forall n > N (ϵ) : | a_{n} - a | < ϵ$ (Definition 4.4)

Quotientenkriterium

Wenn $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \leq q < 1 \forall n \geq n_{0}$ , dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \geq 1 \forall n \geq n_{0}$ , dann ist $\sum a_{n}$ divergent. (Satz 4.52)

Wurzelkriterium

Wenn $\sqrt[n]{| a_{n} |} \leq q < 1 \forall n \geq n_{0}$ , dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\sqrt[n]{| a_{n} |} \geq 1 \forall n \geq n_{0}$ , dann ist $\sum a_{n}$ divergent. (Satz 4.50)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:21, 15. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge $(a_{n}) n \in ℕ$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n \in ℕ$ definiert). $a_{n} = n \cdot q^{n} (- 1 < q < 0)$ .

Wohldefiniert

Wir untersuchen, ob die Folge $⟨ a_{n} ⟩_{(n \in ℕ)}$ für alle $n \geq 0$ definiert ist. Die Folgenglieder dieser Folge können nur durch den Sonderfall $0^{0}$ undefiniert werden. Dieser Fall wird durch die Vorgabe von $- 1 < q < 0, q \in ℝ$ ausgeschlossen. Daher ist die Folge $⟨ a_{n} ⟩$ nicht nur für fast alle, sondern für alle Folgenglieder definiert.

Konvergenz

Betrachten wir das Verhalten dieser Folge. Diese Grenzwerte sind unsere Vermutungen:

\begin{matrix} Im Bereich um den Wert - 0, 001 : & lim_{n \to + \infty} n \cdot q^{n} & = 0. \\ Im Bereich um den Wert - \frac{1}{2}, & lim_{n \to + \infty} n \cdot q^{n} & = 0. \\ Im Bereich um den Wert - 0, 9, & lim_{n \to + \infty} n \cdot q^{n} & = 0. \\ Im Bereich um den Wert - 0, 999999, & lim_{n \to \infty} | n \cdot q^{n} | & = 0. \\ Beim Wert  1 divergiert die Folge a_{n} = & n \cdot 1^{n} = n & ⟹ lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} n = \infty . \\ Beim Wert -1 springt die Folge zwischen & positiven un & d negativen Werten a_{n} = (- 1)^{n} \cdot n hin und her. Die Folge divergiert. \end{matrix}

Wir werden zeigen, dass die Folge $⟨ a_{n} ⟩_{(n \in ℕ)}$ eine Nullfolge ist. Wir werden hier das Quotientenkriterium nur zur Analyse des Wachstums der Folge anwenden. Zuerst betrachten wir die Folge mit positivem $q : ⟨ b_{n} ⟩_{(n \in ℕ)}$ mit den Folgenglieder von $b_{n} = n \cdot r^{n}$ , mit $r = | q |$ mit $0 < r < 1$ . Weiters definieren wir eine Folge $⟨ c_{n} ⟩_{(n \in ℕ)}$ für die benötigten Quotienten, also $c_{n} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$ .

Quotientenkriterium

\begin{matrix} c_{n} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} & = \frac{(n + 1) \cdot r^{n + 1}}{n \cdot r^{n}} < 1 ⟹ (n + 1) \cdot r < n ⟹ n \cdot r + r - n < 0 ⟹ \\ ⟹ n \cdot (r - 1) < - r ⟹ n > \frac{r}{1 - r} = \frac{1}{\frac{1}{r} - 1}, mit 1 - r \geq 0 ⟹ \\ ⟹ n > \frac{r}{1 - r} = \frac{1}{\frac{1}{r} - 1} . \end{matrix}

Monotonie

Monotonie der Quotientenfolge $⟨ c_{n} ⟩$ .

Diese Folge $⟨ c_{n} ⟩$ ist streng monoton fallend: Es ist sofort erkennbar, dass die Folge $lim_{n \to \infty} r \cdot \frac{n + 1}{n} = r \cdot lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = r$ mit $r \cdot \frac{n + 1}{n} > r$ von oben gegen den Grenzwert $r$ konvergiert.

Beweis: Streng monoton fallend

\begin{matrix} c_{n} - c_{n + 1} & = \frac{n + 1}{n} \cdot r - \frac{n + 2}{n + 1} \cdot r = r \cdot ((n + 1) / n - (n + 2) / (n + 1)) = \\ = r \cdot (\frac{(n + 1)^{2} - n \cdot (n + 2)}{n \cdot (n + 1)} = r \cdot \frac{n^{2} + 2 \cdot n + 1 - n^{2} - 2 \cdot n}{n \cdot (n + 1)} = r \cdot \frac{1}{n \cdot (n + 1)} > 0 \end{matrix}

Das heißt, dass die Folge streng monoton fallend ist.

Es existiert ein (z.B.) $s = \frac{1 + r}{2}$ mit $c_{n} = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} \leq s < 1$ für fast alle $n \in ℕ$ .

⟹

Das heißt, die Folge

⟨ c_{n} ⟩

konvergiert gegen den Grenzwert

r

.

⟹

Das heißt, die Folge

⟨ b_{n} ⟩

konvergiert als Nullfolge gegen den Grenzwert

0

.

⟹

Das heißt, die Folge

⟨ | a_{n} | ⟩

konvergiert als Nullfolge gegen den Grenzwert

0

.

Für den Betrag gilt

| a_{n} | \geq 0

und

| a_{n} | \geq a_{n}

oder

| a_{n} | \geq - a_{n}

.

Der Grenzwert wird über den Betrag gebildet $: lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ , falls $\forall ε > 0, \exists N (ε) : n > N ⟹ | a_{n} - a | < ε$ . Wenn die Folge $⟨ a_{n} ⟩$ gegen $0$ konvergiert, also $lim_{n \to \infty} | a_{n} | = 0$ , dann gilt, dass es für jedes $ε > 0$ ein $N (ε)$ gibt, sodass für alle $n > N (ε)$ gilt $: | a_{n} | < ε$ . Das ist genau die Definition des Grenzwertes $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ .

⟹

Das heißt, die Folge

⟨ a_{n} ⟩

konvergiert ebenfalls als Nullfolge gegen den Grenzwert

0

.

◼

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Ähnliche Beispiele:

TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 43

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