TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 43

Man untersuche die Folge $\left(a_{n}\right){n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert).
$a_{n}=n\cdot q^{n}\quad (-1<q<0)$ .

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz 4.35:

Falls die Reihe $\sum _{n\geq 0}a_{n}$ konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d.h., $a_{n}\to 0$ .

Satz 4.50 (Wurzelkriterium):

Falls es eine Zahl $q$ gibt, so dass

$\quad {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq q<1$ für fast alle $n$ ,

dann ist $\sum _{n}a_{n}$ absolut konvergent. Falls hingegen

$\quad {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\geq 1$ für unendlich viele $n$ ,

so ist $\sum _{n}a_{n}$ divergent.

Satz 4.51 (Limesform des Wurzelkriteriums):

Aus $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1$ folgt die absolute Konvergenz der Reihe $\sum _{n}a_{n}$ und aus $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$ deren Divergenz.

Lösungsvorschlag von Yousif[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Folge ist für alle $n\in \mathbb {N}$ wohldefiniert.

Idee: Die Folge als Reihe interpretieren, untersuchen, ob diese konvergiert und daraus schließen, dass diese gegen $0$ konvergiert.

Wurzelkriterium:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|nq^{n}|}}<1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\cdot |q^{n}|}}<1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}\cdot {\sqrt[{n}]{|q^{n}|}}<1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}\cdot {\sqrt[{n}]{|q|^{n}}}<1$

$\color {orange}\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}\color {black}\cdot \color {teal}\lim _{n\to \infty }|q|\color {black}=\color {orange}1\color {black}\cdot \color {teal}|q|^{\color {black}}<1$

$|q|<1\implies |q|^{n}<1$

Also ist die Reihe absolut konvergent.

Daraus folgt, dass die Folge, bestehend aus den Folgengliedern der Reihe $\displaystyle \sum _{n\geq 0}n\cdot q^{n}$ für $-1<q<0$ , eine Nullfolge ist, also $\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ . Der Grenzwert ist also $0$ .

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 43.

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$ !) gilt:
- $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
- $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
$\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ , falls in jeder $\epsilon$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$ (Definition 4.4)

Quotientenkriterium

Wenn $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1\;\forall \,n\geq n_{0}$ , dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1\;\forall \,n\geq n_{0}$ , dann ist $\sum a_{n}$ divergent. (Satz 4.52)

Wurzelkriterium

Wenn ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq q<1\;\forall \,n\geq n_{0}$ , dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\geq 1\;\forall \,n\geq n_{0}$ , dann ist $\sum a_{n}$ divergent. (Satz 4.50)

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 21:21, 15. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge $\left(a_{n}\right){n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert). $a_{n}=n\cdot q^{n}\quad (-1<q<0)$ .

Wohldefiniert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir untersuchen, ob die Folge $\langle a_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ für alle $n\geq 0$ definiert ist. Die Folgenglieder dieser Folge können nur durch den Sonderfall $0^{0}$ undefiniert werden. Dieser Fall wird durch die Vorgabe von $-1<q<0,\,q\in \mathbb {R}$ ausgeschlossen. Daher ist die Folge $\langle a_{n}\rangle$ nicht nur für fast alle, sondern für alle Folgenglieder definiert.

Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachten wir das Verhalten dieser Folge. Diese Grenzwerte sind unsere Vermutungen:

{\begin{alignedat}{1}&{\text{Im Bereich um den Wert }}-0,001\colon \,&\lim _{n\to +\infty }\,n\cdot q^{n}&=0.\\&{\text{Im Bereich um den Wert }}-{\frac {1}{2}},&\lim _{n\to +\infty }\,n\cdot q^{n}&=0.\\&{\text{Im Bereich um den Wert }}-0,9,&\lim _{n\to +\infty }\,n\cdot q^{n}&=0.\\&{\text{Im Bereich um den Wert }}-0,999999,&\lim _{n\to \infty }\,\left\vert \,n\cdot q^{n}\,\right\vert \,&=0.\\&{\text{Beim Wert  1 divergiert die Folge }}a_{n}=&n\cdot 1^{n}=n&\implies \lim _{n\to \infty }\,a_{n}=\lim _{n\to \infty }\,\,n=\infty .\\&{\text{Beim Wert -1 springt die Folge zwischen}}&{\text{ positiven un}}&{\text{d negativen Werten }}a_{n}=(-1)^{n}\cdot n\,{\text{ hin und her. Die Folge divergiert.}}\end{alignedat}}

Wir werden zeigen, dass die Folge $\langle a_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ eine Nullfolge ist. Wir werden hier das Quotientenkriterium nur zur Analyse des Wachstums der Folge anwenden. Zuerst betrachten wir die Folge mit positivem $\,q\,\colon \;\langle b_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ mit den Folgenglieder von $\,b_{n}=n\cdot r^{n}$ , mit $r=\left\vert \,q\,\right\vert \,$ mit $0<r<1$ . Weiters definieren wir eine Folge $\langle c_{n}\rangle _{(n\in \mathbb {N} )}$ für die benötigten Quotienten, also $c_{n}={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ .

Quotientenkriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

{\begin{alignedat}{1}&c_{n}={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}&={\frac {(n+1)\cdot r^{n+1}}{n\cdot r^{n}}}<1\implies (n+1)\cdot r<n\implies n\cdot r+r-n<0\implies \\&&\implies n\cdot (r-1)\mathbf {\color {red}\,<} -r\implies n\mathbf {\color {red}\,>\,} {\frac {r}{1-r}}={\frac {1}{{\frac {1}{r}}-1}},\,{\text{ mit }}\,1-r\geq 0\implies \\&&\implies {\color {green}n\,>\,{\frac {r}{1-r}}={\frac {1}{{\frac {1}{r}}-1}}}.\end{alignedat}}

Monotonie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Monotonie der Quotientenfolge $\langle c_{n}\rangle$ .

Diese Folge $\langle c_{n}\rangle$ ist streng monoton fallend: Es ist sofort erkennbar, dass die Folge $\lim _{n\to \infty }\,r\cdot {\frac {n+1}{n}}=r\cdot \lim _{n\to \infty }\,{\frac {n+1}{n}}=r\,$ mit $\,r\cdot {\frac {n+1}{n}}>r$ von oben gegen den Grenzwert $r$ konvergiert.

Beweis: Streng monoton fallend

{\begin{alignedat}{1}&c_{n}-c_{n+1}&={\frac {n+1}{n}}\cdot r-{\frac {n+2}{n+1}}\cdot r=r\cdot ((n+1)/n-(n+2)/(n+1))=\\&&=r\cdot ({\frac {(n+1)^{2}-n\cdot (n+2)}{n\cdot (n+1)}}=r\cdot {\frac {n^{2}+2\cdot n+1-n^{2}-2\cdot n}{n\cdot (n+1)}}=r\cdot {\frac {1}{n\cdot (n+1)}}>0\end{alignedat}}

Das heißt, dass die Folge streng monoton fallend ist.

Es existiert ein (z.B.) $s={\frac {1+r}{2}}\,$ mit $c_{n}={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\leq s<1$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$ .

\implies

Das heißt, die Folge

\langle c_{n}\rangle

konvergiert gegen den Grenzwert

r

.

\implies

Das heißt, die Folge

\langle b_{n}\rangle

konvergiert als Nullfolge gegen den Grenzwert

0

.

\implies

Das heißt, die Folge

\langle \left\vert \,a_{n}\,\right\vert \rangle

konvergiert als Nullfolge gegen den Grenzwert

0

.

Für den Betrag gilt

\left\vert \,a_{n}\,\right\vert \geq 0

und

\left\vert \,a_{n}\,\right\vert \geq a_{n}

oder

\left\vert \,a_{n}\,\right\vert \geq -a_{n}

.

Der Grenzwert wird über den Betrag gebildet $\colon \;\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ , falls $\,\forall \,\varepsilon >0,\,\exists \,N(\varepsilon )\colon \,n>N\implies \left\vert \,a_{n}-a\,\right\vert <\varepsilon$ . Wenn die Folge $\langle a_{n}\rangle \;$ gegen $0$ konvergiert, also $\lim _{n\to \infty }\,\left\vert \,a_{n}\,\right\vert =0$ , dann gilt, dass es für jedes $\varepsilon >0$ ein $N(\varepsilon )$ gibt, sodass für alle $n>N(\varepsilon )$ gilt $\colon \,\left\vert \,a_{n}\,\right\vert <\varepsilon$ . Das ist genau die Definition des Grenzwertes $\lim _{n\to \infty }\,a_{n}=0$ .