TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 43

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}=nq^{n}\quad (-1<q<0)$

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Hilfreiches

Satz 4.35:

Falls die Reihe $\sum _{n\geq 0}a_{n}$ konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d.h., $a_{n}\to 0$.

Satz 4.50 (Wurzelkriterium):

Falls es eine Zahl $q$ gibt, so dass

$\quad {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq q<1$ für fast alle $n$,

dann ist $\sum _{n}a_{n}$ absolut konvergent. Falls hingegen

$\quad {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\geq 1$ für unendlich viele $n$,

so ist $\sum _{n}a_{n}$ divergent.

Satz 4.51 (Limesform des Wurzelkriteriums):

Aus $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1$ folgt die absolute Konvergenz der Reihe $\sum _{n}a_{n}$ und aus $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$ deren Divergenz.

Lösungsvorschlag von Yousif

Die Folge ist für alle $n\in \mathbb {N}$ wohldefiniert.

Idee: Die Folge als Reihe interpretieren, untersuchen, ob diese konvergiert und daraus schließen, dass diese gegen $0$ konvergiert.

Wurzelkriterium:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|nq^{n}|}}<1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\cdot |q^{n}|}}<1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}\cdot {\sqrt[{n}]{|q^{n}|}}<1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}\cdot {\sqrt[{n}]{|q|^{n}}}<1$

$\color {orange}\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}\color {black}\cdot \color {teal}\lim _{n\to \infty }|q|\color {black}=\color {orange}1\color {black}\cdot \color {teal}|q|^{\color {black}}<1$

$|q|<1\implies |q|^{n}<1$

Also ist die Reihe absolut konvergent.

Daraus folgt, dass die Folge, bestehend aus den Folgengliedern der Reihe $\displaystyle \sum _{n\geq 0}n\cdot q^{n}$ für $-1<q<0$, eine Nullfolge ist, also $\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Der Grenzwert ist also $0$.