TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 67

Seien $P_{1}$ und $P_{2}$ beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die Strecke ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ in $P_{3}$, die Strecke ${\overline {P_{2}P_{3}}}$ in $P_{4}$, ${\overline {P_{3}P_{4}}}$ in $P_{5}$, usw. und bestimme die Lage von $P_{n}$ für $n\to \infty$.

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Hilfreiches

Mathematik für Informatik, Seite 165, Beispiel 4.37:

Unter einer geometrischen Reihe versteht man eine Reihe der Form

$\sum _{n\geq 0}q^{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+...$

[...](Beweis im Buch oder bei Wikipedia)

Im Fall |q| < 1 folgt daraus die Konvergenz der geometrischen Reihe:

$\sum _{n\geq 0}q^{n}={\dfrac {1}{1-q}}$

Lösungsvorschlag von Fabs

Als erstes schauen wir uns einmal an, wie sich das Ganze entwickelt. Wir können o.B.d.A sagen, dass $P_{1}=0$ und $P_{2}=1$ ist, weil wir ja abhängig von ihnen die Position von $P_{n}$ für $n\to \infty$ suchen. Also ist $P_{3}={\dfrac {1}{2}}$, $P_{4}={\dfrac {3}{4}}$, $P_{5}={\dfrac {5}{8}}$ und $P_{6}={\dfrac {11}{16}}$.

Wenn wir uns die Strecken, also die Unterschiede zwischen den Werten ansehen, dann ist ${\overline {P_{1}P_{2}}}=1$, ${\overline {P_{2}P_{3}}}=-{\dfrac {1}{2}}$, ${\overline {P_{3}P_{4}}}={\dfrac {1}{4}}$, ${\overline {P_{4}P_{5}}}=-{\dfrac {1}{8}}$ und ${\overline {P_{5}P_{6}}}={\dfrac {1}{16}}$. Das Ganze setzt sich in diesem Muster fort.

Wir haben hier also eine geometrische Reihe vorliegen. Unser q ist offensichtlich $-{\dfrac {1}{2}}$ (wer will, kann das durch Einsetzen überprüfen...). Da $\left|-{\dfrac {1}{2}}\right|<1$, ist die Reihe konvergent und wir verwenden die entsprechende Formel:

$\sum _{n\geq 0}q^{n}={\dfrac {1}{1-q}}={\dfrac {1}{1-(-{\tfrac {1}{2}})}}={\dfrac {1}{\tfrac {3}{2}}}={\dfrac {2}{3}}$

Der Grenzwert ist also ${\dfrac {2}{3}}$, $P_{n}$ geht für $n\to \infty$ also gegen $P_{1}+{\overline {P_{1}P_{2}}}\cdot {\dfrac {2}{3}}$

Hier noch eine Erklärung aus dem infoforum