TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 69

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

\sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\cos\frac{n \pi}{3}}{2^n}}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Moivre'sche Formel[Bearbeiten]

(\cos x + i\, \sin x)^n = \cos(n\,x) + i\,\sin(n\,x)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Für einen einfacheren Lösungsweg siehe Beispiel 68.

Der Übersicht halber: x = \tfrac {\pi}{3}

Moivrsche Formel umformen:

\cos(n\,x) = (\cos x + i \, \sin x)^n - i \, \sin(n \, x)

Einsetzen, Summe aufsplitten und ein wenig vereinfachen:

 \sum_{n \geq 0}^{\infty} {\left(\frac{\cos x + i \, \sin x}{2}\right)^n} - i \, \sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\sin(n \, x)}{2^n}}

Wir sehen, dass die Summe eine geometrische Reihe repräsentiert:

 \sum_{n \geq 0}^{\infty} {q^n} = \frac{1}{1-q}

Daher können wir schreiben:

 \frac{1}{1-\frac{\cos x + i \, \sin x}{2}} - i \, \sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\sin(n \, x)}{2^n}}

Es gilt {\textstyle  \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} }.

Daher können wir einige Vereinfacherungen vornehmen:

 \frac{4}{3-i \cdot 2 \sin x} - i \, \sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\sin(n \, x)}{2^n}}

Um den imaginären Teil in den Zähler zu bekommen, damit wir ihn herausheben können, müssen wir erweitern:

 \frac{4 \cdot (3+i \cdot 2 \sin x)}{(3-i \cdot 2 \sin x) \cdot (3+i \cdot 2 \sin x)} - i \, \sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\sin(n \, x)}{2^n}}

Woraus, nach herausheben des imaginären Teils, folgt:

 \frac{12}{9+4 \sin(x)^2} + i \, \left(\frac{8 \sin x}{9+4 \sin(x)^2} - \sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\sin(n \, x)}{2^n}}\right)

Es gilt: {\textstyle \sin(\frac{\pi}{3})^2 = \frac{3}{4}}

Also folgt:

 1 + i \, \left(\frac{8 \sin x}{9+4 \sin(x)^2} - \sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\sin(n \, x)}{2^n}}\right)

Wenn wir nun den relevanten Real-Teil betrachten ist das Ergebnis:

Grenzwert = 1

Und wir sind zufrieden :)