TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 69

Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

$\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {\cos {\frac {n\pi }{3}}}{2^{n}}}$

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Hilfreiches

Moivre'sche Formel

$(\cos x+i\,\sin x)^{n}=\cos(n\,x)+i\,\sin(n\,x)$

Lösungsvorschlag

Für einen einfacheren Lösungsweg siehe Beispiel 68.

Der Übersicht halber: $x={\tfrac {\pi }{3}}$

Moivrsche Formel umformen:

$\cos(n\,x)=(\cos x+i\,\sin x)^{n}-i\,\sin(n\,x)$

Einsetzen, Summe aufsplitten und ein wenig vereinfachen:

$\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\left({\frac {\cos x+i\,\sin x}{2}}\right)^{n}}-i\,\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {\sin(n\,x)}{2^{n}}}$

Wir sehen, dass die Summe eine geometrische Reihe repräsentiert:

$\sum _{n\geq 0}^{\infty }{q^{n}}={\frac {1}{1-q}}$

Daher können wir schreiben:

${\frac {1}{1-{\frac {\cos x+i\,\sin x}{2}}}}-i\,\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {\sin(n\,x)}{2^{n}}}$

Es gilt ${\textstyle \cos({\frac {\pi }{3}})={\frac {1}{2}}}$.

Daher können wir einige Vereinfacherungen vornehmen:

${\frac {4}{3-i\cdot 2\sin x}}-i\,\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {\sin(n\,x)}{2^{n}}}$

Um den imaginären Teil in den Zähler zu bekommen, damit wir ihn herausheben können, müssen wir erweitern:

${\frac {4\cdot (3+i\cdot 2\sin x)}{(3-i\cdot 2\sin x)\cdot (3+i\cdot 2\sin x)}}-i\,\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {\sin(n\,x)}{2^{n}}}$

Woraus, nach herausheben des imaginären Teils, folgt:

${\frac {12}{9+4\sin(x)^{2}}}+i\,\left({\frac {8\sin x}{9+4\sin(x)^{2}}}-\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {\sin(n\,x)}{2^{n}}}\right)$

Es gilt: ${\textstyle \sin({\frac {\pi }{3}})^{2}={\frac {3}{4}}}$

Also folgt:

$1+i\,\left({\frac {8\sin x}{9+4\sin(x)^{2}}}-\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {\sin(n\,x)}{2^{n}}}\right)$

Wenn wir nun den relevanten Real-Teil betrachten ist das Ergebnis:

Grenzwert = 1

Und wir sind zufrieden :)

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.