TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 70

Es gilt $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$. Man folgere daraus

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n-1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$.

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{{Beispiel|1=
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$2n-1$ ist die Formel für alle ungeraden Zahlen.

$2n$ die Formel für die geraden

$\sum n=\sum 2n-1+\sum 2n$

Und deshalb, um wieder zur Angabe zurückzukommen:
$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n-1{)}^2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n{)}^2}$

Suchen wir also nach der Lösung für die Summe der geraden Zahlen:
$\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{{\pi }^2}{8}+q$
$q=\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{{\pi }^2}{8}=\frac{8{\pi }^2-6{\pi }^2}{48}=\frac{2{\pi }^2}{48}=\frac{{\pi }^2}{24}$

Ok, jetzt einfach nur mehr die Reihe für gerade Zahlen ausrechnen:
$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{{\pi }^2}{24}$

Done
--DeepThought (Diskussion) 07:23, 29. Jun. 2013 (CEST)

Lösungsvorschlag(2)

$\sum n=\sum 2n-1+\sum 2n$ "Die Summe der ganzen Zahlen ist die Summe der geraden und die Summe der ungeraden Zahlen"

$\sum \frac{1}{n^2}=\sum \frac{1}{(2n-1{)}^2}+\sum \frac{1}{(2n{)}^2}$

$\sum \frac{1}{(2n{)}^2}=\sum \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4}\sum \frac{1}{n^2}$

$\sum \frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\sum \frac{1}{n^2}+\frac{3}{4}\sum \frac{1}{n^2}$

$\sum \frac{1}{(2n-1{)}^2}=\frac{3}{4}\sum \frac{1}{n^2}$

$\frac{3}{4}\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{{\pi }^2}{8}$

Lösung von Rainer - keine Ahnung ob das stimmt. (quelle: http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf )