TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 70

Es gilt $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$. Man folgere daraus

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$.

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{{Beispiel|1=
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{{Beispiel|
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$2n-1$ ist die Formel für alle ungeraden Zahlen.

$2n$ die Formel für die geraden

$\sum n=\sum {2n-1}+\sum {2n}$

Und deshalb, um wieder zur Angabe zurückzukommen:
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}$

Suchen wir also nach der Lösung für die Summe der geraden Zahlen:
${\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}+q$
$q={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {8\pi ^{2}-6\pi ^{2}}{48}}={\frac {2\pi ^{2}}{48}}={\frac {\pi ^{2}}{24}}$

Ok, jetzt einfach nur mehr die Reihe für gerade Zahlen ausrechnen:
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}}}={\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4}}{\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {\pi ^{2}}{24}}$

Done
--DeepThought (Diskussion) 07:23, 29. Jun. 2013 (CEST)

Lösungsvorschlag(2)

$\sum n=\sum {2n-1}+\sum {2n}$ "Die Summe der ganzen Zahlen ist die Summe der geraden und die Summe der ungeraden Zahlen"

$\sum {\frac {1}{n^{2}}}=\sum {\frac {1}{(2n-1)^{2}}}+\sum {\frac {1}{(2n)^{2}}}$

$\sum {\frac {1}{(2n)^{2}}}=\sum {\frac {1}{4n^{2}}}={\frac {1}{4}}\sum {\frac {1}{n^{2}}}$

$\sum {\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4}}\sum {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {3}{4}}\sum {\frac {1}{n^{2}}}$

$\sum {\frac {1}{(2n-1)^{2}}}={\frac {3}{4}}\sum {\frac {1}{n^{2}}}$

${\frac {3}{4}}{\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

Lösung von Rainer - keine Ahnung ob das stimmt. (quelle: http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf )