TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 70

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Es gilt \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. Man folgere daraus

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

2n-1 ist die Formel für alle ungeraden Zahlen.

2n die Formel für die geraden

\sum n = \sum {2n-1} + \sum {2n}

Und deshalb, um wieder zur Angabe zurückzukommen:

  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
  = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}

Suchen wir also nach der Lösung für die Summe der geraden Zahlen:
\frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{8} + q
q = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{8} = \frac{8\pi^2-6\pi^2}{48} = \frac{2\pi^2}{48} = \frac{\pi^2}{24}

Ok, jetzt einfach nur mehr die Reihe für gerade Zahlen ausrechnen:

  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}
  = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2}
  = \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
  = \frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6}
  = \frac{\pi^2}{24}

Done
--DeepThought (Diskussion) 07:23, 29. Jun. 2013 (CEST)

Lösungsvorschlag(2)[Bearbeiten]

\sum n = \sum {2n-1} + \sum {2n} "Die Summe der ganzen Zahlen ist die Summe der geraden und die Summe der ungeraden Zahlen"

\sum \frac{1}{n^2} = \sum \frac{1}{(2n-1)^2} + \sum {\frac{1}{(2n)^2}}

 \sum \frac{1}{(2n)^2} =  \sum {\frac{1}{4n^2}} = \frac{1}{4}\sum \frac{1}{n^2}

 \sum \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4}\sum \frac{1}{n^2} +   \frac{3}{4}\sum \frac{1}{n^2}

  \sum \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{3}{4}\sum \frac{1}{n^2}

 \frac{3}{4}\frac{\pi^2}{6} =  \frac{\pi^2}{8}

Lösung von Rainer - keine Ahnung ob das stimmt. (quelle: http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf )