TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 81

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\geq 0}{\frac {3^{n^{2}}}{n^{n}}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Wurzelkriterium

Wenn ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq q<1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\geq 1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ divergent.   (Satz 4.50)

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Da wir hier n im Exponenten haben bietet sich das Wurzelkriterium an:

$\forall n\geq 1:{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {3^{n^{2}}}{n^{n}}}\right|}}={\frac {\sqrt[{n}]{3^{n\cdot n}}}{\sqrt[{n}]{n^{n}}}}={\frac {3^{n}}{n}}\geq 1$

Daher ist diese Reihe divergent.

Dass ${\frac {3^{n}}{n}}\geq 1$ gilt könnte man noch mittels vollständiger Induktion zeigen. --DerPizzabäcker 20:25, 25. Mär. 2019 (CET)