TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 81

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Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n\ge 0}\frac{3^{n^2}}{n^n}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Wurzelkriterium[Bearbeiten, WP, 4.50 Satz]

Wenn \sqrt[n]{|a_n|}\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent.

Falls hingegen \sqrt[n]{|a_n|}\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker[Bearbeiten]

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Da wir hier n im Exponenten haben bietet sich das Wurzelkriterium an:


\forall n\geq 1:
\sqrt[n]{\left|\frac{3^{n^2}}{n^n}\right|}
= \frac{\sqrt[n]{3^{n\cdot n}}}{\sqrt[n]{n^n}}
= \frac{3^n}{n} \geq 1

Daher ist diese Reihe divergent.

Dass \frac{3^n}{n} \geq 1 gilt könnte man noch mittels vollständiger Induktion zeigen. --DerPizzabäcker 20:25, 25. Mär. 2019 (CET)