TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 95

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

\sum \limits_{n\geq 0} \frac{z^{2n}}{(2n)!},\quad z \in \C

Hilfreiches[Bearbeiten]

Quotientenkriterium

Wenn \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent.

Falls hingegen \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.   (Satz 4.52)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

von --Mario96 (Diskussion) 22:54, 8. Nov. 2017 (CET)

Wir setzten in das Quotientenkriterium ein und kürzen:


\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
= \left|
\frac
{\frac{z^{2(n+1)}}{(2(n+1))!}}
{\frac{z^{2n}}{(2n)!}}
\right|
=
\frac
{z^{2n+2} (2n)!}
{z^{2n} (2n+2)!}
=
\frac
{z^2}
{(2n+2)(2n+1)}

Um den Grenzwert zu berechnen heben wir die Konstante |z^2| heraus:


\begin{align}
&\lim_{n \to \infty} \left|
\frac
{z^2}
{(2n+2)(2n+1)}
\right|\\
= &|z^2| \,
\lim_{n \to \infty} \left|
\frac
{1}
{(2n+2)(2n+1)}
\right|\\
= &|z^2| \, 0 = 0 \quad < 1
\end{align}

Die Reihe konvergiert.