TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 96

Man untersuche, für welche $x\in \mathbb {R}$ die folgende Funktionenreihe konvergiert:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2n-1}}(x-1)^{n}$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag von Yousif

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}(x-1)^{n}$

$x_{0}=1,\quad a_{n}={\frac {1}{2n-1}}$

Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium in der Limesform:

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{2(n+1)-1}}{\frac {1}{2n-1}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {2n-1}{2(n+1)-1}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {2n-1}{2n+1}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n(2-{\frac {1}{n}})}{n(2+{\frac {1}{n}})}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {2-{\frac {1}{n}}}{2+{\frac {1}{n}}}}\right|=\left|{\frac {2-0}{2+0}}\right|=1$

$R={\frac {1}{1}}=1$

$|x-1|<1\implies {\text{ konvergiert (absolut)}}$

$|x-1|>1\implies {\text{ divergiert }}$

Randfälle:

$x=0:$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}(-1)^{n}$ Nach dem Konvergenzkriterium von Leibniz ist die Reihe (bedingt) konvergent.

$x=2:$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}$ Nach dem Minorantenkriterium ist die Reihe divergent.

Zusammenfassung:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}(x-1)^{n}:={\begin{cases}{\text{ divergent für }}&x<0\\{\text{ bedingt konvergent für }}&x=0\\{\text{ absolut konvergent für }}&0<x<2\\{\text{ divergent für }}&x=2\\{\text{ divergent für }}&x>2\\\end{cases}}$