TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 99

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Man zeige: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n b^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a-b)^n}{n!} für a, b \in \mathbb{R}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Darstellung der Exponentialfunktion - Funktionalgleichung (Buch S. 165)
e^{z_1}*e^{z_2} = e^{z_1 + z_2} für  e^z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!} (=auf \mathbb{C} definierte Exponentialfunktion)

Lösung(svorschlag)[Bearbeiten]

von Tina

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} = e^a

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n b^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-b)^n}{n!} = e^{-b}

Funktionalgleichung anwenden:

 e^a*e^{-b} = e^{a+(-b)} = e^{a-b}

einsetzen:

e^{a-b} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a-b)^n}{n!}

Lösung (aus Übungseinheit)[Bearbeiten]

Vorneweg: Der obige Lösungsvorschlag ist natürlich prinzipiell richtig. Allerdings meinte unser Übungsleiter (ein Professor), dass stumpfes Einsetzen nicht Sinn der Übung sei und diese daher in Zukunft etwas anders formuliert werden könnte.

Wirklich lösen sollte man es mit dem Cauchy-Produkt:

(\sum_{n=0}^{\infty} a_n) (\sum_{n=0}^{\infty} b_n) = \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k})

Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!}) (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-b)^n}{n!}) = \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{a^k * (-b)^{n-k}}{k! (n-k)!})

Hilfreich ist hier der Binomialkoeffizient:  n\choose k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Also:

\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{a^k * (-b)^{n-k}}{k! (n-k)!}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} (\sum_{k=0}^{n} \frac{n! * a^k * (-b)^{n-k}}{k!(n-k)!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} * a^k * (-b)^{n-k}) Die ganze letzte Summe ist nichts anderes als (a+b)^{n}([1]), ergo gilt:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} * a^k * (-b)^{n-k}) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a-b)^n}{n!}

Alle Angaben ohne Gewähr, kann sein, dass ich mich irgendwo vertippt habe oder dergleichen!