TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 99

Man zeige: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n!}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{b}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a-b{)}^n}{n!}$ für $a,b\in ℝ$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Darstellung der Exponentialfunktion - Funktionalgleichung (Buch S. 165)
$e^{z_1}\ast e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$ für $e^z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}$ (=auf $ℂ$ definierte Exponentialfunktion)

Lösung(svorschlag)

von Tina

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n!}=e^a$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{b}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-b{)}^n}{n!}=e^{-b}$

Funktionalgleichung anwenden:

$e^a\ast e^{-b}=e^{a+(-b)}=e^{a-b}$

einsetzen:

$e^{a-b}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a-b{)}^n}{n!}$

Lösung (aus Übungseinheit)

Vorneweg: Der obige Lösungsvorschlag ist natürlich prinzipiell richtig. Allerdings meinte unser Übungsleiter (ein Professor), dass stumpfes Einsetzen nicht Sinn der Übung sei und diese daher in Zukunft etwas anders formuliert werden könnte.

Wirklich lösen sollte man es mit dem Cauchy-Produkt:

$(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k})$

Jetzt müssen wir nur noch einsetzen:

$(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n!})(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-b{)}^n}{n!})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n\frac{a^k\ast (-b{)}^{n-k}}{k!(n-k)!})$

Hilfreich ist hier der Binomialkoeffizient: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$$=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Also:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^n\frac{a^k\ast (-b{)}^{n-k}}{k!(n-k)!})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(\sum _{k=0}^n\frac{n!\ast a^k\ast (-b{)}^{n-k}}{k!(n-k)!})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\ast a^k\ast (-b{)}^{n-k})$ Die ganze letzte Summe ist nichts anderes als $(a+b{)}^n$([1]), ergo gilt:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\ast a^k\ast (-b{)}^{n-k})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a-b{)}^n}{n!}$

Alle Angaben ohne Gewähr, kann sein, dass ich mich irgendwo vertippt habe oder dergleichen!