TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 137

Zeigen Sie: Sind $g_{1} (x), \dots, g_{m} (x)$ differenzierbar und $g_{j} (x) \neq 0$ für alle j, so gilt
$\frac{(\prod_{j = 1}^{m} g_{j} (x))^{'}}{\prod_{j = 1}^{m} g_{j} (x)} = \sum_{j = 1}^{m} \frac{{g_{j}}^{'} (x)}{g_{j} (x)}$

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Lösungsvorschlag von steini

$\frac{(\prod_{j = 1}^{m} g_{j} (x))^{'}}{\prod_{j = 1}^{m} g_{j} (x)} = \frac{(g_{1} (x) \cdot g_{2} (x) \cdot g_{3} (x) \dots g_{m} (x))^{'}}{g_{1} (x) \cdot g_{2} (x) \cdot g_{3} (x) \dots g_{m} (x)}$

Man substituiert mit $f (x) = g_{2} (x) \cdot g_{3} (x) \dots g_{m} (x)$ und differenziert dann den Zähler mit der Produktregel:

$= \frac{(g_{1} (x) \cdot f (x))^{'}}{g_{1} (x) \cdot f (x)} = \frac{{g_{1}}^{'} (x) \cdot f (x) + g_{1} (x) \cdot f^{'} (x)}{g_{1} (x) \cdot f (x)} = \frac{{g_{1}}^{'} (x) \cdot f (x)}{g_{1} (x) \cdot f (x)} + \frac{g_{1} (x) \cdot f^{'} (x)}{g_{1} (x) \cdot f (x)} = \frac{{g_{1}}^{'} (x)}{g_{1} (x)} + \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$

Rücksubstitution:

$= \frac{{g_{1}}^{'} (x)}{g_{1} (x)} + \frac{(g_{2} (x) \cdot g_{3} (x) \dots g_{m} (x))^{'}}{g_{2} (x) \cdot g_{3} (x) \dots g_{m} (x)}$

Nun könnte man die Substitution beim rechten Term mit $f (x) = g_{3} (x) \dots g_{m} (x)$ wiederholen und dann immer wieder so lange, bis $f (x) = g_{m} (x)$ . Schlussendlich erhält man die rechte Seite der Angabe:
$\frac{{g_{1}}^{'} (x)}{g_{1} (x)} + \frac{{g_{2}}^{'} (x)}{g_{2} (x)} + \frac{{g_{3}}^{'} (x)}{g_{3} (x)} + \dots + \frac{{g_{m}}^{'} (x)}{g_{m} (x)} = \sum_{j = 1}^{m} \frac{{g_{j}}^{'} (x)}{g_{j} (x)}$

TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 137

Lösungsvorschlag von steini

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