TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 137

Zeigen Sie: Sind $g_{1}(x),\ldots ,g_{m}(x)$ differenzierbar und $g_{j}(x)\neq 0$ für alle j, so gilt

${\frac {(\prod _{j=1}^{m}g_{j}(x))'}{\prod _{j=1}^{m}g_{j}(x)}}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {g_{j}'(x)}{g_{j}(x)}}$

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Lösungsvorschlag von steini

${\frac {(\prod _{j=1}^{m}g_{j}(x))'}{\prod _{j=1}^{m}g_{j}(x)}}={\frac {(g_{1}(x)\cdot g_{2}(x)\cdot g_{3}(x)\cdots g_{m}(x))'}{g_{1}(x)\cdot g_{2}(x)\cdot g_{3}(x)\cdots g_{m}(x)}}$

Man substituiert mit $f(x)=g_{2}(x)\cdot g_{3}(x)\cdots g_{m}(x)$ und differenziert dann den Zähler mit der Produktregel:

$={\frac {(g_{1}(x)\cdot f(x))'}{g_{1}(x)\cdot f(x)}}={\frac {g_{1}'(x)\cdot f(x)+g_{1}(x)\cdot f'(x)}{g_{1}(x)\cdot f(x)}}={\frac {g_{1}'(x)\cdot f(x)}{g_{1}(x)\cdot f(x)}}+{\frac {g_{1}(x)\cdot f'(x)}{g_{1}(x)\cdot f(x)}}={\frac {g_{1}'(x)}{g_{1}(x)}}+{\frac {f'(x)}{f(x)}}$

Rücksubstitution:

$={\frac {g_{1}'(x)}{g_{1}(x)}}+{\frac {(g_{2}(x)\cdot g_{3}(x)\cdots g_{m}(x))'}{g_{2}(x)\cdot g_{3}(x)\cdots g_{m}(x)}}$

Nun könnte man die Substitution beim rechten Term mit $f(x)=g_{3}(x)\cdots g_{m}(x)$ wiederholen und dann immer wieder so lange, bis $f(x)=g_{m}(x)$. Schlussendlich erhält man die rechte Seite der Angabe:
${\frac {g_{1}'(x)}{g_{1}(x)}}+{\frac {g_{2}'(x)}{g_{2}(x)}}+{\frac {g_{3}'(x)}{g_{3}(x)}}+\cdots +{\frac {g_{m}'(x)}{g_{m}(x)}}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {g_{j}'(x)}{g_{j}(x)}}$