TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 25

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 195. Vergleich

Für die Funktion $f(t)=\{\begin{array}{c}-1(t\le 1)\\ t(t>1)\end{array}$ berechnen Sie $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

Lösungsvorschlag

Integration

Es gibt zwei Fälle, die getrennt betrachtet werden müssen, nämlich $x\le 1$ und $x>1$.

Für $x\le 1$ gilt $f(x)=-1$.

$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt={\int }_0^x-1dt=-x$

Im Fall $x>1$ gilt ${\int }_0^{x}f(t)dt={\int }_0^{1}f(t)dt+{\int }_1^{x}f(t)dt$.

$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt={\int }_0^1-1dt+{\int }_1^{x}tdt=-1+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{x^2-3}{2}$

Überprüfung der Stetigkeit

Beide Teile der Funktion sind stetig, der einzige Punkt, der unstetig sein könnte ist bei $x=1$. Stimmen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle überein, ist die Funktion stetig.

$\underset{x\to 1-}{lim}F(x)=-1$

$\underset{x\to 1+}{lim}F(x)=\underset{x\to 1+}{lim}\frac{x^2-3}{2}=-1$

Die Grenzwerte stimmen überein, demnach ist die Funktion stetig.

Überprüfung der Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar in einem Punkt $x_0$, wenn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existiert.

In diesem Fall ist nur der Punkt $x_0=1$ von Bedeutung, da sowohl der Funktionszweig links von 1 als auch der Funktionszweig rechts von 1 differenzierbar sind.

Der Grenzwert $\underset{x\to 1}{lim}\frac{F(x)-F(1)}{x-1}$ existiert, stimmt aber für die beiden Äste der Funktion nicht überein.

Für $x\le 1$:

$\underset{x\to 1}{lim}\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{-x+1}{x-1}=-1$

Für $x>1$:

$\underset{x\to 1}{lim}\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\frac{x^2-3}{2}+1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-3+2}{2(x-1)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{2(x-1)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x+1}{2}\to 1$

Alternative Argumentation

Um sich die Differenzengleichung zu ersparen:

Schon aus der Angabe ist ablesbar, daß $\{\begin{array}{c}\underset{x\to 1-}{lim}f(x)=-1\\ \underset{x\to 1+}{lim}f(x)=+1\end{array}$

Da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle $x=1$ nicht übereinstimmen, springt $f(x)=F^{\prime }(x)$ an dieser Stelle und ist daher nicht differenzierbar.

Baccus