TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS11/Beispiel 25

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Für die Funktion berechnen Sie . Ist stetig bzw. differenzierbar?

Lösungsvorschlag[edit]

Integration[edit]

Es gibt zwei Fälle, die getrennt betrachtet werden müssen, nämlich und .


Für gilt .


Im Fall gilt .


Überprüfung der Stetigkeit[edit]

Beide Teile der Funktion sind stetig, der einzige Punkt, der unstetig sein könnte ist bei . Stimmen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle überein, ist die Funktion stetig.

Die Grenzwerte stimmen überein, demnach ist die Funktion stetig.


Überprüfung der Differenzierbarkeit[edit]

Eine Funktion ist genau dann differenzierbar in einem Punkt , wenn existiert.

In diesem Fall ist nur der Punkt von Bedeutung, da sowohl der Funktionszweig links von 1 als auch der Funktionszweig rechts von 1 differenzierbar sind.

Der Grenzwert existiert, stimmt aber für die beiden Äste der Funktion nicht überein.

Für :


Für :


Alternative Argumentation[edit]

Um sich die Differenzengleichung zu ersparen:

Schon aus der Angabe ist ablesbar, daß

Da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle nicht übereinstimmen, springt an dieser Stelle und ist daher nicht differenzierbar.

Baccus