TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 256

Man berechne

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{x}^2\ast co{s}^2(x)dx$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Lunar

Vorwissen

$si{n}^2(x)+co{s}^2(x)=1$

$cos(2x)=co{s}^2(x)-si{n}^2(x)$

$cos(2x)=co{s}^2(x)-(1-co{s}^2(x))$

$cos(2x)=2co{s}^2(x)-1$

$\frac{cos(2x)+1}{2}=co{s}^2(x)$

Lösung

$\int x^2\ast co{s}^2(x)dx=$

$=\int x^2\ast (\frac{1}{2}+\frac{cos(2x)}{2})dx=$

$=x^2\ast (\frac{x}{2}+\frac{sin(2x)}{4})-\int 2x\ast (\frac{x}{2}+\frac{sin(2x)}{4}dx)$

$=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2\ast sin(2x)}{4}-(\frac{x^3}{3}+\int \frac{x\ast sin(2x)}{2}dx)$

$=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2\ast sin(2x)}{4}-\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}\ast (\frac{-cos(2x)\ast x}{2}-\int -\frac{cos(2x)}{2}dx)$

$=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2\ast sin(2x)}{4}-\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}\ast (\frac{-cos(2x)\ast x}{2}+\frac{sin(2x)}{4})$

$=\frac{x^3}{6}+\frac{x^2\ast sin(2x)}{4}+\frac{x\ast cos(2x)}{4}-\frac{sin(2x)}{8}$

Fehler ausgebessert Klammer wurde falsch aufgelöst und somit stimmte eine Bruchzahl und eine Vorzeichen nicht! pknoe3lh

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