TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 251

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Man berechne:

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + x)}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Substitutionsregel[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)

\arctan(x)' = \frac 1{1 +x^2}

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten]

Wir substituieren

t = \sqrt{x} \,

t^2 = x \,

dt =\frac{1}{2 \sqrt{x}} \, dx

dx ={2 \sqrt{x}} \, dt

Jetzt einsetzen:

\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + x)}= \int \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+t^2)} \, dt = 2\int \frac{1}{(1+t^2)} \, dt = 2 arctan(t) + C = 2 arctan(\sqrt{x}) + C

Grenzen berechnen:

 2(arctan(\sqrt{1})-arctan(\sqrt{0}))= \frac{\pi}2