TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 268

Man berechne:

${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

$\arctan (x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Wir substituieren

$t=\sqrt{x}$

$t^2=x$

$dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$

$dx=2\sqrt{x}dt$

Jetzt einsetzen:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=\int \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+t^2)}dt=2\int \frac{1}{(1+t^2)}dt=2arctan(t)+C=2arctan(\sqrt{x})+C$

Grenzen berechnen:

$2(arctan(\sqrt{1})-arctan(\sqrt{0}))=\frac{\pi }{2}$