TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 326

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion $f:{ℝ}^2\to ℝ$ im Punkt (0, 0).

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}& \text{für }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{für }(x,y)=(0,0)\end{array}$

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Lösungsvorschlag

Laß $x\to 0$ und $y\to 0$ konvergieren, wobei y=mx (eine Gerade der xy-Ebene). Dann ist längst dieser Geraden

$\underset{x\to 0\wedge y\to 0}{lim}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3+m{x}^3}{x^2+m{x}^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3(1+m^3)}{x^2(1+m^2)}=x\cdot \frac{1+m^3}{1+m^2}$

??? Müsste imho stetig sein.

Edit Peter1058

Lösung scheint richtig zu sein. bekomme auch raus, dass die Fkt. stetig ist! lg

Nein, diese Argumentation reicht nicht aus. Damit die Funktion im Punkt (0,0) stetig ist, müssen die Funktionswerte ALLE Folgen die gegen diesen Punkt konvergieren, gegen denselben Grenzwert konvergieren. Ein Gegenbeispiel müssten f(x, sin(x)) sein.

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

In dieser Variante zeigen wir, dass für jedes Epsilon > 0 eine Delta > 0 Umgebung von (0,0) existiert, sodass alle Funktionswerte in dieser Umgebung höchstens Epsilon von f(0,0) entfernt sind. Zu zeigen: $\mathrm{\forall }e>0\mathrm{\exists }d>0:(|x|<d,|y|<d)⟹|f(x,y)|<e$

Dazu machen wir eine Fallunterscheidung.

Für $x=y=0:f(x,y)=0<e$

Für $y\le x:\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right|\le \left|\frac{x^3+y^3}{x^2}\right|\le \left|\frac{x^3+x^3}{x^2}\right|=|2x|<e$

Für $y>x:\left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right|\le \left|\frac{x^3+y^3}{y^2}\right|<\left|\frac{y^3+y^3}{y^2}\right|=|2y|<e$

$|2x|<e$ und $|2y|<e$ stimmen nur falls $|x|,|y|<\frac{e}{2}$, daher wählen wir d(e) entsprechend: $d=\frac{e}{2}$. Somit haben wir gezeigt, dass die Funktion stetig in (0,0) ist.

--DerPizzabäcker 17:58, 21. Mai 2019 (CEST)

Anmerkung: Diese Lösung wird von Prof. Länger nicht akzeptiert, da in den Fällen "y <= x" und "y > x" nicht ausgeschlossen ist, dass x bzw. y gleich 0 sein kann. Damit würde der Nenner 0 werden.

Lösungsvorschlag von Kernkraftwerk

man setzte für x^2 = r ^2 * cos^2(ψ) = r * cos (ψ) und y^2 = r^2 * sin^2(ψ) = y = r * sin(ψ)

Eingesetzt und gekürzt hat man lim_{r -> 0} f( r cos(ψ), r sin(ψ)) = r * (r ^3 * (cos^3(ψ) + sin^3(ψ)) dann r * (0 ^3 * (cos^3(ψ) + sin^3(ψ)) = 0

q.e.d

Links

• Ähnliches Beispiel: TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 69