TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 308

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Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f:\mathbb R^2\to\mathbb R im Punkt (0, 0).

f(x, y)=\begin{cases}
\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} &\text{fuer } (x, y)\neq(0, 0)\\
0 &\text{fuer } (x, y)=(0, 0)
\end{cases}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Nicht stetig - folgender Satz ist hilfreich: "Die mehrfachen Limites sind nicht notwendigerweise gleich. Obwohl sie gleich sein müssen, wenn \lim \limits_{x \to x_0 \wedge y \to y_0} f(x,y) existiert, impliziert ihre Gleichheit nicht die Existenz dieses Limes."

\lim \limits_{x \to 0} \left\{ \lim \limits_{y \to 0} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right\}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x^2}{x^2}=1

\lim \limits_{y \to 0} \left\{ \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right\}=\lim \limits_{y \to 0}\frac{-y^2}{y^2}=-1

Verschieden -> \lim \limits_{x \to x_0 \wedge y \to y_0} f(x,y) existiert daher nicht -> f(x,y) nicht stetig in (0,0).

Zweiter Lösungsweg:

Laß x \rightarrow 0 und y \rightarrow 0 konvergieren, wobei y=mx (eine Gerade der xy-Ebene). Dann ist längst dieser Geraden

\lim \limits_{x \to 0 \wedge y \to 0} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2-mx^2}{x^2+mx^2} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x^2(1-m^2)}{x^2(1+m^2)} = \frac{1-m^2}{1+m^2}

Da der Limes der Funktion von der Art der Konvergenz gegen (0,0) abhängt (d.h. von der Steigung m der Geraden), kann die Funktion in (0,0) nicht stetig sein.

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