TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 326

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Man untersuche die Stetigkeit der Funktion im Punkt (0, 0).

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Laß und konvergieren, wobei y=mx (eine Gerade der xy-Ebene). Dann ist längst dieser Geraden

??? Müsste imho stetig sein.

Edit Peter1058[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösung scheint richtig zu sein. bekomme auch raus, dass die Fkt. stetig ist! lg

Nein, diese Argumentation reicht nicht aus. Damit die Funktion im Punkt (0,0) stetig ist, müssen die Funktionswerte ALLE Folgen die gegen diesen Punkt konvergieren, gegen denselben Grenzwert konvergieren. Ein Gegenbeispiel müssten f(x, sin(x)) sein.

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In dieser Variante zeigen wir, dass für jedes Epsilon > 0 eine Delta > 0 Umgebung von (0,0) existiert, sodass alle Funktionswerte in dieser Umgebung höchstens Epsilon von f(0,0) entfernt sind. Zu zeigen:

Dazu machen wir eine Fallunterscheidung.

Für

Für

Für

und stimmen nur falls , daher wählen wir d(e) entsprechend: . Somit haben wir gezeigt, dass die Funktion stetig in (0,0) ist.

--DerPizzabäcker 17:58, 21. Mai 2019 (CEST)


Anmerkung: Diese Lösung wird von Prof. Länger nicht akzeptiert, da in den Fällen "y <= x" und "y > x" nicht ausgeschlossen ist, dass x bzw. y gleich 0 sein kann. Damit würde der Nenner 0 werden.

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]