TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 325

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion $f:{ℝ}^2\to ℝ$ im Punkt (0, 0).

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}& \text{fuer }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{fuer }(x,y)=(0,0)\end{array}$

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Lösungsvorschlag

Nicht stetig - folgender Satz ist hilfreich: "Die mehrfachen Limites sind nicht notwendigerweise gleich. Obwohl sie gleich sein müssen, wenn $\underset{x\to x_0\wedge y\to y_0}{lim}f(x,y)$ existiert, impliziert ihre Gleichheit nicht die Existenz dieses Limes."

$\underset{x\to 0}{lim}\left\{\underset{y\to 0}{lim}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right\}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{x^2}=1$

$\underset{y\to 0}{lim}\left\{\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right\}=\underset{y\to 0}{lim}\frac{-y^2}{y^2}=-1$

Verschieden -> $\underset{x\to x_0\wedge y\to y_0}{lim}f(x,y)$ existiert daher nicht -> $f(x,y)$ nicht stetig in (0,0).

Zweiter Lösungsweg:

Laß $x\to 0$ und $y\to 0$ konvergieren, wobei y=mx (eine Gerade der xy-Ebene). Dann ist längst dieser Geraden

$\underset{x\to 0\wedge y\to 0}{lim}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2-m{x}^2}{x^2+m{x}^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2(1-m^2)}{x^2(1+m^2)}=\frac{1-m^2}{1+m^2}$

Da der Limes der Funktion von der Art der Konvergenz gegen (0,0) abhängt (d.h. von der Steigung m der Geraden), kann die Funktion in (0,0) nicht stetig sein.

Links

• Diskussion im Informatik-Forum

Ähnliche Beispiele:

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