TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 394

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen: $y^{″} + y^{'} = c o s (x)$

Lösungsvorschlag von Enrimilan

$y^{″} + y^{'} = 0$

$λ^{2} = - 1$

$λ_{1, 2} = i$

$y_{h} (x) = C_{1} c o s (x) + C_{2} s i n (x)$

Anmerkung: Wurde hier vielleicht p und q vertauscht? Ich komme hier auf 0 bzw. -1, nicht auf i

$s (x) = c o s (x)$

$y_{p} (x) = B c o s (x) + A s i n (x)$

${y_{p}}^{'} (x) = - B s i n (x) + A c o s (x)$

${y_{p}}^{″} (x) = - B c o s (x) - A s i n (x)$

Einsetzen:

$- A c o s (x) + A c o s (x) = c o s (x)$

$\to$ Resonanzfall

Neuer Ansatz:

$y_{p} (x) = x (B c o s (x) + A s i n (x))$

${y_{p}}^{'} (x) = A s i n (x) + B c o s (x) + x (a c o s (x) - B s i n (x))$

${y_{p}}^{″} (x) = A c o s (x) - B s i n (x) + A (c o s (x) - B s i n (x) + x (- A s i n (x) - B (c o s (x))$

Einsetzen und dann erhält man:

$B = 0, A = \frac{1}{2}$

$y_{p} (x) = \frac{x s i n (x)}{2},$

$y = y_{h} (x) + y_{p} (x) = C_{1} c o s (x) + C_{2} s i n (x) + \frac{x s i n (x)}{2}$