Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen: y″+y′=cos(x){\displaystyle y''+y'=cos(x)\,}
y″+y′=0{\displaystyle y''+y'=0\,}
λ2=−1{\displaystyle \lambda ^{2}=-1\,}
λ1,2=i{\displaystyle \lambda _{1,2}=i\,}
yh(x)=C1cos(x)+C2sin(x){\displaystyle y_{h}(x)=C_{1}cos(x)+C_{2}sin(x)\,}
Anmerkung: Wurde hier vielleicht p und q vertauscht? Ich komme hier auf 0 bzw. -1, nicht auf i
s(x)=cos(x){\displaystyle s(x)=cos(x)\,}
yp(x)=Bcos(x)+Asin(x){\displaystyle y_{p}(x)=Bcos(x)+Asin(x)\,}
yp′(x)=−Bsin(x)+Acos(x){\displaystyle y_{p}'(x)=-Bsin(x)+Acos(x)\,}
yp″(x)=−Bcos(x)−Asin(x){\displaystyle y_{p}''(x)=-Bcos(x)-Asin(x)\,}
Einsetzen:
−Acos(x)+Acos(x)=cos(x){\displaystyle -Acos(x)+Acos(x)=cos(x)\,}
→{\displaystyle \rightarrow \,} Resonanzfall
Neuer Ansatz:
yp(x)=x(Bcos(x)+Asin(x)){\displaystyle y_{p}(x)=x(Bcos(x)+Asin(x))\,}
yp′(x)=Asin(x)+Bcos(x)+x(acos(x)−Bsin(x)){\displaystyle y_{p}'(x)=Asin(x)+Bcos(x)+x(acos(x)-Bsin(x))\,}
yp″(x)=Acos(x)−Bsin(x)+A(cos(x)−Bsin(x)+x(−Asin(x)−B(cos(x)){\displaystyle y_{p}''(x)=Acos(x)-Bsin(x)+A(cos(x)-Bsin(x)+x(-Asin(x)-B(cos(x))\,}
Einsetzen und dann erhält man:
B=0,A=12{\displaystyle B=0,A={\frac {1}{2}}\,}
yp(x)=xsin(x)2,{\displaystyle y_{p}(x)={\frac {xsin(x)}{2}},}
y=yh(x)+yp(x)=C1cos(x)+C2sin(x)+xsin(x)2{\displaystyle y=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}cos(x)+C_{2}sin(x)+{\frac {xsin(x)}{2}}\,}
Resonanzfall
