TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 6

Man finde alle Häufungspunkte der Folge $a_n=\frac{\sqrt{n}\ast cos(\frac{n\pi }{2})}{\sqrt{n}+sin(\frac{n\pi }{2})}(n\ge 1)$

Zuerst teilt man die Angabe in 3 Teile auf: $\sqrt{n}$ , $cos(\frac{n\pi }{2})$ und $sin(\frac{n\pi }{2})$

$cos(\frac{n\pi }{2})$ kann nur die Werte 0,-1,1 annehmen. Diese wiederholen sich nach jedem vierten Wert (Cosinuskurve) => 0,-1,0,1,....

$sin(\frac{n\pi }{2})$ kann auch nur die Werte 0,-1,1 annehmen. Diese wiederholen sich auch nach jedem vierten Wert (Sinuskurve) => 1,0,-1,0,....

$\sqrt{n}$ nennen wir a => $\frac{a\ast 0|-1|0|1}{a+1|0|-1|0}$

$\frac{0a}{a+1}$ = 0

$\frac{-1a}{a+0}$ = -1

$\frac{0a}{a-1}$ = 0

$\frac{1a}{a+0}$ = 1

Die Häufungspunkte sind somit 0,1 und -1

--Kerni