TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 1

Man finde ein Bildungsgesetz für die unendlichen Folgen:

(a) $0,3;0,09;0,027;...$ (b) ${\frac {1}{2}};{\frac {4}{3}};{\frac {9}{4}};...$ (c) ${\frac {1}{2}};{\frac {2}{4}};{\frac {3}{8}};...$

Wie groß ist dann jeweils das zwölfte Folgenglied?

Lösungsvorschlag von Enrimilan[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel (a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Folgenglieder als Brüche darstellen und es wird schon alles deutlicher:

$a_{0}=0,3={\frac {3}{10}}=({\frac {3}{10}})^{1}$

$a_{1}=0,09={\frac {9}{100}}=({\frac {3}{10}})^{2}$

$a_{2}=0,027={\frac {27}{1000}}=({\frac {3}{10}})^{3}$

Man sieht also, dass die Folgenglieder Potenzen von ${\frac {3}{10}}$ sind. Daher lautet das Bildungsgesetz: $a_{n}=({\frac {3}{10}})^{n+1}$

Das zwölfte Folgenglied ist dann:

$a_{12}=({\frac {3}{10}})^{12+1}=({\frac {3}{10}})^{13}=1,594323*10^{-7}$

Beispiel (b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Überlegung: wenn man sich die ersten Folgenglieder genauer anschaut, dann stellt man fest, dass der Zähler des nächsten Glieds gleich mit dem Quadrat des Nenners des aktuellen Folgenglieds ist. Der Nenner selbst wird jedes mal um 1 inkrementiert. Also haben wir:

$a_{0}={\frac {1}{2}}={\frac {(0+1)^{2}}{2+0}}$

$a_{1}={\frac {4}{3}}={\frac {(1+1)^{2}}{2+1}}$

$a_{2}={\frac {9}{4}}={\frac {(2+1)^{2}}{2+2}}$

Daher ist das n-te Folgenglied so definiert:

$a_{n}={\frac {(n+1)^{2}}{n+2}}$

Und das zwölfte Glied lautet:

$a_{12}={\frac {(12+1)^{2}}{12+2}}={\frac {(13)^{2}}{14}}=12.07142857$

Beispiel (c)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Überlegung: wenn man sich die ersten Folgenglieder genauer anschaut, dann stellt man fest, dass der Zähler immer um 1 inkrementiert wird, und dass der Nenner immer eine Zweierpotenz ist. Setzt man diese Überlegungen jetzt fort, dann erhält man:

$a_{0}={\frac {1}{2}}={\frac {0+1}{2^{0+1}}}$