TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 65

Man bestimme die Größenordnungen von

(a) $3.9n^2-n+0.1$

(b) $3.9\cdot 2^n+n^5$

(c) $\sqrt{1+2.3n^2}$.

Ferner zeige man, dass

(d) $a_n=O(1)\iff (a_n)$ beschränkt, und

(e) $a_n=o(1)\iff (a_n)$ Nullfolge.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$3.9n^2-n+0.1=n^2\cdot (3.9-\frac{1}{n}+\frac{0.1}{n^2})\le C\cdot n^2$ mit $C=3.9$

$\Rightarrow O(n^2)$

$\frac{3.9}{n}-\frac{1}{n^2}+\frac{0.1}{n^3}\to 0$ für $n\to \mathrm{\infty }$

$\Rightarrow o(n^3)$

$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3.9n^2-n+0.1}{3.9n^2}=1-\frac{1}{3.9n}+\frac{1}{39n^2}\to 1$

$\Rightarrow \sim 3.9n^2$

Beispiel (b)

$\frac{3.9\cdot 2^n+n^5}{2^n}\to 3.9$

$\Rightarrow O(2^n)$

Anmerkung: $2^n$ wächst schneller als $n^5$

Anmerkung: $\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$, anschließend analog zu (a)

Beispiel (c)

$\sqrt{1+2.3n^2}=n\cdot \sqrt{\frac{1}{n^2}+2.3}\to O(n)$

oder $\sim \sqrt{2.3}n$

Beispiel (d)

Definition: $|\frac{a_n}{b_n}|\le C\Rightarrow a_n=O(b_n)$

$\Rightarrow |\frac{a_n}{1}|\le C$ = beschränkt mit C

Beispiel (e)

Definition: $li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{b_n}\to 0\Rightarrow a_n=o(b_n)$

$\Rightarrow li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{a_n}{1}\to 0$ = Nullfolge

Links

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