TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 71

Für n = 1, 2, 3, ... sei

$a_n=\frac{1}{n^2},b_n=\frac{1}{(n+1)\ast (n+2)},c_n=\frac{1}{(n+1)},d_n=\frac{1}{(n+2)}$.

Weiters sei $A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,B=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n,C=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n,D=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n$.

1. (a) Berechnen Sie die Partialsummen von B.
2. (b) Berechnen Sie den Wert von B.
3. (c) Begründen Sie $a_n\le 2b_n$. Konvergiert A?
4. (d) Warum ist $B=C-D$ falsch, obwohl $b_n=c_n-d_n$?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Clemens

Beispiel a

$\frac{1}{(n+1)\cdot (n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$

Wir suchen Sn, wobei S0 = a0, S1 = a0 + a1,... also allgemein Sn = $\sum _{k=0}^n{a}_k$

Bei unserem Beispiel wäre das also:

$S_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-+\mathrm{...}-\frac{1}{n+2}$

Man sieht, dass die mittleren alls rausfallen, übrig bleibt also:

$S_n=1-\frac{1}{n+2}$

Beispiel b

Variante 1

Da wir in Punkt a) bereits die Partialsummen gebildet haben, können wir diese verwenden. B (die Summe von bn's) ist im Prinzip der Grenzwert von (Sn).

$\frac{1}{n+2}$ geht gegen 0, daher ist B = 1

--> Bitte erläutern: Warum ist hier B = 1 und nicht B = 0 ??
--> Antwort: Da obige Teleskopsumme noch die Konstante 1 enthält: $1-\frac{1}{n+2}$ Allerdings bin ich der Meinung, dass das nicht 1 sondern $\frac{1}{2}$ sein sollte, da n in der Angabe ab 1 und nicht ab 0 beginnt.
--> Achtung: es gibt 2 verschiedene Angaben, das n für die Folgen geht bei beiden von n = 1, 2, 3... die Summe geht hier (Grenzwert = 1) allerdings von 0 weg wie man auch oben in der Angabe sieht, bei der neueren Version geht die Summe allerdings bei 1 los, weshalb dann der Grenzwert $\frac{1}{2}$ ist.

$S_n=1-\frac{1}{n+2}$ wobei der Term $\frac{1}{n+2}$ gegen 0 konvergiert, daher ist $S_n=B=1-0=1$

Variante 2

Um auf den Wert von einer unbekannten Reihe zu kommen, ist es immer Sinnvoll, diese so umzuformen, dass man auf bekannte Reihen kommt (oder zumindest teilweise).

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}bn=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\mathrm{...}$

Wenn wir nun betrachten: $\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$

und $\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}=\frac{1}{8}$

Dies könnte man nun noch weiter machen und es werden immer mehr (8, 16, 32, ..) Brüche gemeinsam einen Bruch der Form $\frac{1}{2^n}$ ergeben.

Da $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=1$ ist, können wir sagen, dass unser B ebenfalls 1 ist.

Beispiel c

Angabe wurde geändert. War vorher: Begründen Sie an <= 6bn für n >= 1. Konvergiert A?

Diese Begründung habe ich mittels vollständiger Induktion gemacht:

$\frac{1}{n^2}\le \frac{6}{(n+1)\cdot (n+2)}$ für $n\ge 1$

bei n=1: $\frac{6}{2\cdot 3}$ passt

für n --> n+1 zu zeigen:

$\frac{1}{(n+1{)}^2}\le \frac{6}{(n+2)(n+3)}$ Ich multipliziere mit beiden Nennern (um sie los zu werden).

$(n+2)\cdot (n+3)\le 6\cdot (n+1{)}^2$

$n^2+5\cdot n+6\le 6\cdot n^2+12\cdot n+6$

$0\le 5\cdot n^2+7\cdot n$

Da $n\ge 1$ bestimmt ist, trifft dies immer zu --> q.e.d.

Anmerkung: Berechnung richtig, allerdings ist das keine vollständige Induktion, da die Induktionsvorraussetzung nicht verwendet wurde (bestätigt durch Prof. Karigl). --pauly.

Nun muss man noch zeigen, dass A Konvergiert. Dieses Bsp. hat Prof. Karigl bereits in der VO gemacht:

(.. falsch laut Tutor)

$\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}$ konvergiert, denn $\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n\cdot (n-1)}$ für $n\ge 2$ und $\sum _{n\ge 2}\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1$ (Mittels Majorantenkriterium)

Anmerkung: Die Summe $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}$ konvergiert nicht. Du hast einen Falschen Bruch für bn angegeben. Rechnet man $\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ kommt $3n+2\le 0$ raus, was für n>0 nicht stimmen kann. Demnach ist bn kein Majorant von an.

Antwort zur Anmerkung: Deshalb haben wir $\frac{1}{n^2}\le \frac{6}{(n+1)\cdot (n+2)}$ oben bewiesen. Dass $\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ nicht stimmen kann ist trivial.

Hinweis:

$\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

Beispiel d

Variante 1

Da (cn) und (dn) divergent sind, können wir damit nicht rechnen.

Variante 2

Dies ist meiner Meinung nach ganz banal zu Begründen, da C und D jeweils unendlich sind (da es die Folgen $\frac{1}{n}$ sind, die evtl. später beginnen, und daher die Summe unendlich ist).

B ist allerdings 1 (siehe Beispiel b) und $1\ne \mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$