TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS08/Beispiel 67

Man leite die Funktionalgleichung $e^x{e}^y=e^{x+y}$ für die Exponentialfunktion aus deren Potenzreichendarstellung durch Bildung des Cauchyprodukts der entsprechenden Potenzreihen her.

Vorwissen

$e^x\text{als Potenzreihe: }{e}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

$\text{Cauchyprodukt: }(a_n)(b_n)=(c_n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\text{ mit }{c}_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$

$\text{Binomialkoeffizient: }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

$\text{Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten: }(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k$

Lösungsvorschlag

$e^x\cdot e^y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$

$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\cdot \frac{y^{n-k}}{(n-k)!}=\sum _{k=0}^n\frac{1}{n!}\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot x^k\cdot y^{n-k}=\frac{1}{n!}\cdot \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot x^k\cdot y^{n-k}=\frac{1}{n!}\cdot (x+y{)}^n$

$\Rightarrow e^x\cdot e^y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x+y{)}^n}{n!}=e^{x+y}$

q.e.d.

Manül 14:32, 17. Jun 2008 (CEST)