TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS08/Beispiel 67

Man leite die Funktionalgleichung $e^{x}\;e^{y}=e^{x+y}$ für die Exponentialfunktion aus deren Potenzreichendarstellung durch Bildung des Cauchyprodukts der entsprechenden Potenzreihen her.

Vorwissen

$e^{x}{\text{als Potenzreihe: }}e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

${\text{Cauchyprodukt: }}(a_{n})\;(b_{n})=(c_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\;b_{n-k}$

${\text{Binomialkoeffizient: }}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

${\text{Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten: }}(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

Lösungsvorschlag

$e^{x}\cdot e^{y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}\cdot {\frac {y^{n-k}}{(n-k)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n!}}\cdot {\frac {n!}{k!\;(n-k)!}}\cdot x^{k}\cdot y^{n-k}={\frac {1}{n!}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot x^{k}\cdot y^{n-k}={\frac {1}{n!}}\cdot (x+y)^{n}$

$\Rightarrow e^{x}\cdot e^{y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}=e^{x+y}$

q.e.d.

Manül 14:32, 17. Jun 2008 (CEST)