TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 26

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort ihre Ableitung $f'(x)$

$f(x)={\begin{cases}x^{2}sin({1 \over x}),&{\text{falls }}x\neq 0\\0,&{\text{falls }}x=0\end{cases}}$

Lösungsvorschlag (absolut ohne Gewähr, und das meine ich ernst)

Zuerst $f(x)$ aufteilen um die Produktregel und die Kettenregel anzuwenden:

$f(x)=f_{\text{1}}(x)*f_{\text{2}}(x)$

$f_{\text{1}}(x)=x^{2}$

$f_{\text{2}}(x)=sin({1 \over x})$

Ebenso $f_{\text{2}}(x)$ aufteilen (Hier jetzt Kettenregel):

$f_{\text{2}}(x)=f_{\text{3}}(f_{\text{4}}(x))$

$f_{\text{3}}(x)=sin(x)$

$f_{\text{4}}(x)={1 \over x}$

Als Zwischenrechnung die Ableitungen von allen Teilfunktionen:

$f_{\text{1}}'(x)=2x$

$f_{\text{3}}'(x)=cos(x)$

$f_{\text{4}}'(x)=-{1 \over x^{2}}$

$f_{\text{2}}'(x)=f_{\text{3}}'(f_{\text{4}}(x))*f_{\text{4}}'(x)=cos({1 \over x})*(-{1 \over x^{2}})$

$f'(x)=f_{\text{1}}'(x)*f_{\text{2}}(x)+f_{\text{1}}(x)*f_{\text{2}}'(x)=2x*sin({1 \over x})+x^{2}*cos({1 \over x})*(-{1 \over x^{2}})=2x*sin({1 \over x})-cos({1 \over x})$

Ich vermute das die Funktion überall differenzierbar ist, besonders da die ungültige Stelle $x=0$ schon als ausname deffiniert ist.

Externe Lösung:

Die Funktion ist überall differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar. Das Beispiel wird z.B. hier besprochen: Stetig differenzierbar

Hier ist auch noch ein Video dass das Beispiel sehr gut erklärt.