TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 26

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Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort ihre Ableitung f'(x)

f(x) =
\begin{cases}
 x^2 sin({1 \over x}), & \text{falls } x \ne 0 \\
 0, & \text{falls } x = 0
\end{cases}

Lösungsvorschlag (absolut ohne Gewähr, und das meine ich ernst)[Bearbeiten]

Zuerst f(x) aufteilen um die Produktregel und die Kettenregel anzuwenden:

f(x) = f_{\text{1}}(x) * f_{\text{2}}(x)

f_{\text{1}}(x) = x^2

f_{\text{2}}(x) = sin({1 \over x})

Ebenso f_{\text{2}}(x) aufteilen (Hier jetzt Kettenregel):

f_{\text{2}}(x) = f_{\text{3}}(f_{\text{4}}(x))

f_{\text{3}}(x) = sin(x)

f_{\text{4}}(x) = {1 \over x}

Als Zwischenrechnung die Ableitungen von allen Teilfunktionen:

f_{\text{1}}'(x) = 2x

f_{\text{3}}'(x) = cos(x)

f_{\text{4}}'(x) = -{1 \over x^2}

f_{\text{2}}'(x) = f_{\text{3}}'(f_{\text{4}}(x)) * f_{\text{4}}'(x) = cos ({1 \over x}) * (-{1 \over x^2})

f'(x) = f_{\text{1}}'(x) * f_{\text{2}}(x) + f_{\text{1}}(x) * f_{\text{2}}'(x) 
= 2x * sin({1 \over x}) + x^2 * cos({1 \over x}) * (-{1 \over x^2})
= 2x * sin({1 \over x}) - cos({1 \over x})

Ich vermute das die Funktion überall differenzierbar ist, besonders da die ungültige Stelle x = 0 schon als ausname deffiniert ist.


Externe Lösung:[Bearbeiten]

Die Funktion ist überall differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar. Das Beispiel wird z.B. hier besprochen: Stetig differenzierbar

Hier ist auch noch ein Video dass das Beispiel sehr gut erklärt.