TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 26

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort ihre Ableitung $f^{\prime }(x)$

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{2}sin(\frac{1}{x}),& \text{falls }x\ne 0\\ 0,& \text{falls }x=0\end{array}$

Lösungsvorschlag (absolut ohne Gewähr, und das meine ich ernst)

Zuerst $f(x)$ aufteilen um die Produktregel und die Kettenregel anzuwenden:

$f(x)=f_{\text{1}}(x)\ast f_{\text{2}}(x)$

$f_{\text{1}}(x)=x^2$

$f_{\text{2}}(x)=sin(\frac{1}{x})$

Ebenso $f_{\text{2}}(x)$ aufteilen (Hier jetzt Kettenregel):

$f_{\text{2}}(x)=f_{\text{3}}(f_{\text{4}}(x))$

$f_{\text{3}}(x)=sin(x)$

$f_{\text{4}}(x)=\frac{1}{x}$

Als Zwischenrechnung die Ableitungen von allen Teilfunktionen:

$f_{{\text{1}}^{\prime }}(x)=2x$

$f_{{\text{3}}^{\prime }}(x)=cos(x)$

$f_{{\text{4}}^{\prime }}(x)=-\frac{1}{x^2}$

$f_{{\text{2}}^{\prime }}(x)=f_{{\text{3}}^{\prime }}(f_{\text{4}}(x))\ast f_{{\text{4}}^{\prime }}(x)=cos(\frac{1}{x})\ast (-\frac{1}{x^2})$

$f^{\prime }(x)=f_{{\text{1}}^{\prime }}(x)\ast f_{\text{2}}(x)+f_{\text{1}}(x)\ast f_{{\text{2}}^{\prime }}(x)=2x\ast sin(\frac{1}{x})+x^2\ast cos(\frac{1}{x})\ast (-\frac{1}{x^2})=2x\ast sin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x})$

Ich vermute das die Funktion überall differenzierbar ist, besonders da die ungültige Stelle $x=0$ schon als ausname deffiniert ist.

Externe Lösung:

Die Funktion ist überall differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar. Das Beispiel wird z.B. hier besprochen: Stetig differenzierbar

Hier ist auch noch ein Video dass das Beispiel sehr gut erklärt.