TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 27

Man berechne die Ableitungen von arcsin(x) und arccos(x) mit Hilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion.

Lösungsvorschlag von Enrimilan

arcsin(x)

$f(x)=arcsin(x)$

Setzen wir $y=arcsin(x)\to x=sin(y)$

$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^2(y)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

arccos(x)

$f(x)=arccos(x)$

Setzen wir $y=arccos(x)\to x=cos(y)$

$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=-\frac{1}{sin(y)}=-\frac{1}{\sqrt{1-co{s}^2(y)}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

kommentar von steppenhahn: $si{n}^2(x)+co{s}^2(x)=1$

$\Rightarrow sin(x)=\sqrt{1-co{s}^2(x)}$

$\Rightarrow cos(x)=\sqrt{1-si{n}^2(x)}$