Man berechne die Ableitungen von arcsin(x) und arccos(x) mit Hilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion.
f(x)=arcsin(x){\displaystyle f(x)=arcsin(x)}
Setzen wir y=arcsin(x)→x=sin(y){\displaystyle y=arcsin(x)\rightarrow x=sin(y)}
f′(x)=dydx=1dxdy=1cos(y)=11−sin2(y)=11−x2{\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}={\frac {1}{cos(y)}}={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(y)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
f(x)=arccos(x){\displaystyle f(x)=arccos(x)}
Setzen wir y=arccos(x)→x=cos(y){\displaystyle y=arccos(x)\rightarrow x=cos(y)}
f′(x)=dydx=1dxdy=−1sin(y)=−11−cos2(y)=−11−x2{\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}=-{\frac {1}{sin(y)}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-cos^{2}(y)}}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
kommentar von steppenhahn: sin2(x)+cos2(x)=1{\displaystyle sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1}
⇒sin(x)=1−cos2(x){\displaystyle \Rightarrow sin(x)={\sqrt {1-cos^{2}(x)}}}
⇒cos(x)=1−sin2(x){\displaystyle \Rightarrow cos(x)={\sqrt {1-sin^{2}(x)}}}
