TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 32

Für die unbestimmten Formen (a) $\infty^{0}$ sowie
(b) $1^{\infty}$ gebe man je zwei Beispiele mit unterschiedlichen Grenzwerten an.

(Hinweis: Finden Sie im Fall (a) Funktionen $f_{i} (x)$ und $g_{i} (x)$ für i=1,2, so dass $lim f_{1} (x) = lim f_{2} (x) = \infty$ , $lim g_{1} (x) = lim g_{2} (x) = 0$ , aber $lim f_{1} (x)^{g_{1} (x)} \neq lim f_{2} (x)^{g_{2} (x)}$ gilt.)

Lösung von ICE

a)

Eine gültige Lösung lässt sich z.B. nach dem Schema $(a^{x})^{\frac{1}{x}}$ finden, mit zwei beliebigen unterschiedlichen a, wobei a > 1. Also beispielsweise:

(1)

$f_{1} (x) = 3^{x} \to \infty$ (für $x \to \infty$ )

$g_{1} (x) = \frac{1}{x} \to 0$ (für $x \to \infty$ )

$lim_{x \to \infty} f_{1} (x)^{g_{1} (x)} = lim_{x \to \infty} (3^{x})^{\frac{1}{x}} = 3$

(2)

$f_{2} (x) = 2 7^{x} \to \infty$ (für $x \to \infty$ )

$g_{2} (x) = \frac{1}{x} \to 0$ (für $x \to \infty$ )

$lim_{x \to \infty} f_{2} (x)^{g_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} (2 7^{x})^{\frac{1}{x}} = 27$

=> offensichtlich ist hier $lim_{x \to \infty} f_{1} (x)^{g_{1} (x)} \neq lim_{x \to \infty} f_{2} (x)^{g_{2} (x)}$

b)

nach dem Schema $(a^{\frac{1}{x}})^{x}$ , mit zwei beliebigen unterschiedlichen a, wobei a > 1, z.B.:

(1)

$f_{1} (x) = 3^{\frac{1}{x}} = \sqrt[x]{3} \to 1$ (Die nte Wurzel jeder Zahl geht für $n \to \infty$ gegen 1)

$g_{1} (x) = x \to \infty$ (für $x \to \infty$ )

$lim_{x \to \infty} f_{1} (x)^{g_{1} (x)} = lim_{x \to \infty} (3^{\frac{1}{x}})^{x} = 3$

(2)

$f_{2} (x) = 2 7^{\frac{1}{x}} = \sqrt[x]{27} \to 1$ (für $x \to \infty$ )

$g_{2} (x) = x \to \infty$ (für $x \to \infty$ )

$lim_{x \to \infty} f_{2} (x)^{g_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} (2 7^{\frac{1}{x}})^{x} = 27$

=> auch hier ist offensichtlich $lim_{x \to \infty} f_{1} (x)^{g_{1} (x)} \neq lim_{x \to \infty} f_{2} (x)^{g_{2} (x)}$

TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 32

Lösung von ICE

a)

b)

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