TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 32

Für die unbestimmten Formen (a) $\infty ^{0}$ sowie
(b) $1^{\infty }$ gebe man je zwei Beispiele mit unterschiedlichen Grenzwerten an.

(Hinweis: Finden Sie im Fall (a) Funktionen $f_{i}(x)$ und $g_{i}(x)$ für i=1,2, so dass $\lim f_{1}(x)=\lim f_{2}(x)=\infty$, $\lim g_{1}(x)=\lim g_{2}(x)=0$, aber $\lim f_{1}(x)^{g_{1}(x)}\neq \lim f_{2}(x)^{g_{2}(x)}$ gilt.)

Lösung von ICE

a)

Eine gültige Lösung lässt sich z.B. nach dem Schema $(a^{x})^{\frac {1}{x}}$ finden, mit zwei beliebigen unterschiedlichen a, wobei a > 1. Also beispielsweise:

(1)

$f_{1}(x)=3^{x}\to \infty$ (für $x\to \infty$)

$g_{1}(x)={\frac {1}{x}}\to 0$ (für $x\to \infty$)

$\lim \limits _{x\rightarrow \infty }f_{1}(x)^{g_{1}(x)}=\lim \limits _{x\rightarrow \infty }(3^{x})^{\frac {1}{x}}=3$

(2)

$f_{2}(x)=27^{x}\to \infty$ (für $x\to \infty$)

$g_{2}(x)={\frac {1}{x}}\to 0$ (für $x\to \infty$)

$\lim \limits _{x\rightarrow \infty }f_{2}(x)^{g_{2}(x)}=\lim \limits _{x\rightarrow \infty }(27^{x})^{\frac {1}{x}}=27$

=> offensichtlich ist hier $\lim \limits _{x\rightarrow \infty }f_{1}(x)^{g_{1}(x)}\neq \lim \limits _{x\rightarrow \infty }f_{2}(x)^{g_{2}(x)}$

b)

nach dem Schema $(a^{\frac {1}{x}})^{x}$, mit zwei beliebigen unterschiedlichen a, wobei a > 1, z.B.:

(1)

$f_{1}(x)=3^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{3}}\to 1$ (Die nte Wurzel jeder Zahl geht für $n\to \infty$ gegen 1)

$g_{1}(x)=x\to \infty$ (für $x\to \infty$)

$\lim \limits _{x\rightarrow \infty }f_{1}(x)^{g_{1}(x)}=\lim \limits _{x\rightarrow \infty }(3^{\frac {1}{x}})^{x}=3$

(2)

$f_{2}(x)=27^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{27}}\to 1$ (für $x\to \infty$)

$g_{2}(x)=x\to \infty$ (für $x\to \infty$)

$\lim \limits _{x\rightarrow \infty }f_{2}(x)^{g_{2}(x)}=\lim \limits _{x\rightarrow \infty }(27^{\frac {1}{x}})^{x}=27$

=> auch hier ist offensichtlich $\lim \limits _{x\rightarrow \infty }f_{1}(x)^{g_{1}(x)}\neq \lim \limits _{x\rightarrow \infty }f_{2}(x)^{g_{2}(x)}$