TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 3

Wie lauten die Partialbruchzerlegungen für nachstehende rationale Funktionen?

(a) $f(x)={\frac {2x+7}{x^{2}-3x-4}}$

(b) $g(x)={\frac {5-x}{\left(x-2\right)^{2}}}$

(c) $h(x)={\frac {4x^{2}+x+5}{x^{3}+5x}}$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$f(x)={\frac {2x+7}{x^{2}-3x-4}}$
Eine der schnell ersichtlichen Nullstellen ist $x_{1}=+4$

EDIT: Bitte pq-Formel anwenden! Polynomdivision ist veraltet. Schaut euch das Horner-Schema an. x0 = 4, x1 = -1

Wodurch sich für die Polynomdivision folgendes anbietet:
$(x^{2}-3x-4):(x-4)=x+1$ woraus folgt: $f(x)={\frac {2x+7}{(x-4)(x+1)}}$

${\begin{aligned}{\frac {2x+7}{(x-4)(x+1)}}&={\frac {A}{x-4}}+{\frac {B}{x+1}}\\2x+7&=A(x+1)+B(x-4)\\2x+7&=Ax+A+Bx-4B\\2x^{1}+7x^{0}&=(A+B)x^{1}+(A-4B)x^{0}\end{aligned}}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B=2$ und $A-4B=7$, aus dem dem $A=3$ und $B=-1$ folgt.

$f(x)={\frac {2x+7}{x^{2}-3x-4}}={\frac {3}{x-4}}-{\frac {1}{x+1}}$

Beispiel (b)

${\begin{aligned}{\frac {5-x}{(x-2)^{2}}}&={\frac {A}{x-2}}+{\frac {B}{(x-2)^{2}}}\\5-x&=A(x-2)+B\\5-x&=Ax-2A+B\\-1x^{1}+5x^{0}&=Ax^{1}+(-2A+B)x^{0}\end{aligned}}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A=-1$ und $-2A+B=5$, aus dem dem $A=-1$ und $B=3$ folgt.

$g(x)={\frac {5-x}{(x-2)^{2}}}={\frac {-1}{x-2}}+{\frac {3}{(x-2)^{2}}}$

Beispiel (c)

$h(x)={\frac {4x^{2}+x+5}{x^{3}+5x}}={\frac {4x^{2}+x+5}{x(x^{2}+5)}}$

${\begin{aligned}{\frac {4x^{2}+x+5}{x(x^{2}+5)}}&={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+5}}\\4x^{2}+x+5&=A(x^{2}+5)+(Bx+C)x\\4x^{2}+x+5&=Ax^{2}+5A+Bx^{2}+Cx\\4x^{2}+x^{1}+5x^{0}&=(A+B)x^{2}+Cx^{1}+5Ax^{0}\end{aligned}}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B=4$, $C=1$ und $5A=5$, aus dem dem $A=1$, $B=3$ und $C=1$ folgt.

$h(x)={\frac {4x^{2}+x+5}{x^{3}+5x}}={\frac {1}{x}}+{\frac {3x+1}{x^{2}+5}}$

Hilfreiches

• Partialbruchzerlegung bei UniWiki