TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 3

Wie lauten die Partialbruchzerlegungen für nachstehende rationale Funktionen?

(a) $f(x)=\frac{2x+7}{x^2-3x-4}$

(b) $g(x)=\frac{5-x}{{(x-2)}^2}$

(c) $h(x)=\frac{4x^2+x+5}{x^3+5x}$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$f(x)=\frac{2x+7}{x^2-3x-4}$
Eine der schnell ersichtlichen Nullstellen ist $x_1=+4$

EDIT: Bitte pq-Formel anwenden! Polynomdivision ist veraltet. Schaut euch das Horner-Schema an. x0 = 4, x1 = -1

Wodurch sich für die Polynomdivision folgendes anbietet:
$(x^2-3x-4):(x-4)=x+1$ woraus folgt: $f(x)=\frac{2x+7}{(x-4)(x+1)}$

$\begin{array}{cc}\frac{2x+7}{(x-4)(x+1)}& =\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1}\\ 2x+7& =A(x+1)+B(x-4)\\ 2x+7& =Ax+A+Bx-4B\\ 2x^1+7x^0& =(A+B)x^1+(A-4B)x^0\end{array}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B=2$ und $A-4B=7$, aus dem dem $A=3$ und $B=-1$ folgt.

$f(x)=\frac{2x+7}{x^2-3x-4}=\frac{3}{x-4}-\frac{1}{x+1}$

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}\frac{5-x}{(x-2{)}^2}& =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2{)}^2}\\ 5-x& =A(x-2)+B\\ 5-x& =Ax-2A+B\\ -1x^1+5x^0& =A{x}^1+(-2A+B)x^0\end{array}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A=-1$ und $-2A+B=5$, aus dem dem $A=-1$ und $B=3$ folgt.

$g(x)=\frac{5-x}{(x-2{)}^2}=\frac{-1}{x-2}+\frac{3}{(x-2{)}^2}$

Beispiel (c)

$h(x)=\frac{4x^2+x+5}{x^3+5x}=\frac{4x^2+x+5}{x(x^2+5)}$

$\begin{array}{cc}\frac{4x^2+x+5}{x(x^2+5)}& =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+5}\\ 4x^2+x+5& =A(x^2+5)+(Bx+C)x\\ 4x^2+x+5& =A{x}^2+5A+B{x}^2+Cx\\ 4x^2+x^1+5x^0& =(A+B)x^2+C{x}^1+5A{x}^0\end{array}$

Koeffizentenvergleich ergibt $A+B=4$, $C=1$ und $5A=5$, aus dem dem $A=1$, $B=3$ und $C=1$ folgt.

$h(x)=\frac{4x^2+x+5}{x^3+5x}=\frac{1}{x}+\frac{3x+1}{x^2+5}$

Hilfreiches

• Partialbruchzerlegung bei UniWiki