TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 259

Man berechne:

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{2}x\mathrm{d}x$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{2}x\mathrm{d}x& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}1\mathrm{d}x\\ & ={\tan x|}_0^{\frac{\pi }{4}}-{x|}_0^{\frac{\pi }{4}}\\ & =\tan \frac{\pi }{4}-\tan 0-\frac{\pi }{4}+0\\ & =1-0-\frac{\pi }{4}+0\\ & =1-\frac{\pi }{4}\end{array}$