TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 12

Mit Hilfe des Integralkriteriums zeige man, dass die so genannte hyperharmonische Reihe $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ für $\alpha >1$ konvergent, für $\alpha \leq 1$ hingegen divergent ist.

Lösungsvorschlag

Für $\alpha =1$:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{x^{1}}}=\lim _{c\to \infty }\left.\ln \left|x\right|\right|_{1}^{c}=\lim _{c\to \infty }\ln c-\ln 1=\infty$

Für $\alpha \neq 1$:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{x^{\alpha }}}=\int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\mathrm {d} x=\lim _{c\to \infty }\left.{\frac {x^{1-\alpha }}{1-\alpha }}\right|_{1}^{c}=\lim _{c\to \infty }{\frac {c^{1-\alpha }}{1-\alpha }}-{\frac {1}{1-\alpha }}={\begin{cases}\infty &{\text{wenn }}\alpha <1\\{\frac {1}{\alpha -1}}&{\text{wenn }}\alpha >1\end{cases}}$

Anm koDiacc: der Grenzwert wenn alpha > 1 (Letztes Gleichzeichen) bildet sich so: Der erste Term geht gegen 0. Bleibt der 2. Term. Das Vorzeichen wurde in den Nenner "gezogen".

Links

Buch Seite 220 Bsp 5.63

https://www.onlinetutorium.com/product_info.php?cPath=51_64&products_id=753 - Erklärung und Lösungsweg des Beispiels