TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 12

Mit Hilfe des Integralkriteriums zeige man, dass die so genannte hyperharmonische Reihe $\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^{\alpha }}$ für $\alpha >1$ konvergent, für $\alpha \le 1$ hingegen divergent ist.

Lösungsvorschlag

Für $\alpha =1$:

${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{x^1}=\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}{\ln \left|x\right||}_1^c=\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln c-\ln 1=\mathrm{\infty }$

Für $\alpha \ne 1$:

${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{x^{\alpha }}={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{-\alpha }\mathrm{d}x=\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}{\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }|}_1^c=\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{c^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{1}{1-\alpha }=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \text{wenn }\alpha <1\\ \frac{1}{\alpha -1}& \text{wenn }\alpha >1\end{array}$

Anm koDiacc: der Grenzwert wenn alpha > 1 (Letztes Gleichzeichen) bildet sich so: Der erste Term geht gegen 0. Bleibt der 2. Term. Das Vorzeichen wurde in den Nenner "gezogen".

Links

Buch Seite 220 Bsp 5.63

https://www.onlinetutorium.com/product_info.php?cPath=51_64&products_id=753 - Erklärung und Lösungsweg des Beispiels