TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 5

Zu folgenden konvergenten Zahlenfolgen bestimme man den Grenzwert:

(a) $x_n=\frac{n^3-4n^2-4n+1}{2n^3+1}$ (b) $x_n=\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}$

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Beispiel (a)

$x_n=\frac{n^3-4n^2-4n+1}{2n^3+1}$

Wenn man n gegen Unendlich gehen lässt, dann hat man eine unbestimmte Form $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ erreicht

Wir führen deshalb folgend Umformungen durch:

$x_n=\frac{n^3(1-\frac{4}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3})}{n^3(2+\frac{1}{n^3})}=\frac{1-\frac{4}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{1}{n^3}}$

Jetzt können wir den Grenzwert berechnen:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1-\frac{4}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{1}{n^3}})=\frac{1-\frac{4}{\mathrm{\infty }}-\frac{4}{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{\mathrm{\infty }}}{2+\frac{1}{\mathrm{\infty }}}=\frac{1}{2}$

Beispiel (b)

$x_n=\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}$

Wenn man n gegen Unendlich gehen lässt, dann hat man eine unbestimmte Form $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ erreicht

$x_n=\frac{(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1})(\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}}=\frac{n^2+3-n^2-1}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}}$

Jetzt können wir den Grenzwert berechnen:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}})=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\infty }+3}+\sqrt{\mathrm{\infty }+1}}=\frac{2}{\mathrm{\infty }}=0$