TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 5

Zu folgenden konvergenten Zahlenfolgen bestimme man den Grenzwert:

(a) $x_{n}={\frac {n^{3}-4n^{2}-4n+1}{2n^{3}+1}}$ (b) $x_{n}={\sqrt {n^{2}+3}}-{\sqrt {n^{2}+1}}$

Lösungsvorschlag von Enrimilan

Beispiel (a)

$x_{n}={\frac {n^{3}-4n^{2}-4n+1}{2n^{3}+1}}$

Wenn man n gegen Unendlich gehen lässt, dann hat man eine unbestimmte Form ${\frac {\infty }{\infty }}$ erreicht

Wir führen deshalb folgend Umformungen durch:

$x_{n}={\frac {n^{3}(1-{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}})}{n^{3}(2+{\frac {1}{n^{3}}})}}={\frac {1-{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}{2+{\frac {1}{n^{3}}}}}$

Jetzt können wir den Grenzwert berechnen:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }({\frac {1-{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}}{2+{\frac {1}{n^{3}}}}})={\frac {1-{\frac {4}{\infty }}-{\frac {4}{\infty }}+{\frac {1}{\infty }}}{2+{\frac {1}{\infty }}}}={\frac {1}{2}}$

Beispiel (b)

$x_{n}={\sqrt {n^{2}+3}}-{\sqrt {n^{2}+1}}$

Wenn man n gegen Unendlich gehen lässt, dann hat man eine unbestimmte Form $\infty -\infty$ erreicht

$x_{n}={\frac {({\sqrt {n^{2}+3}}-{\sqrt {n^{2}+1}})({\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}})}{{\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}}}}={\frac {n^{2}+3-n^{2}-1}{{\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}}}}={\frac {2}{{\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}}}}$

Jetzt können wir den Grenzwert berechnen:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }({\frac {2}{{\sqrt {n^{2}+3}}+{\sqrt {n^{2}+1}}}})={\frac {2}{{\sqrt {\infty +3}}+{\sqrt {\infty +1}}}}={\frac {2}{\infty }}=0$